Механика. Щербаченко Л.А. - 165 стр.

                             F (t ) −iωt
                   A& (t ) =       e
                              m
                   Интегрируя его, получим решение уравнения (61) в виде:
                             t 1                     
                   ξ = e iωt ∫ F (t )e −iωt dt + ξ o  ,                                   (63)
                             0 m                     
                 где постоянная интегрирования ξ o выбрана так, чтобы представлять
            собой значение ξ , в момент времени t = 0 . Это и есть искомое общее
            решение: функция x(t ) дается мнимой частью выражения (63), деленной на
            ω.
                 Энергия системы, совершающей вынужденные колебания,
            разумеется, не сохраняется: система приобретает энергию за счет
            источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую
            системе за все время действия силы от − ∞ до + ∞ , предполагая начальную
            энергию равной нулю. Согласно формуле (63) (с нижним пределом
            интегрирования − ∞ вместо нуля и с ξ (− ∞ ) = 0 ) имеем при t → ∞ :
                                        +∞                              2

                   ξ (∞ )               ∫ F (t )e
                                  1                        − iωt
                                = 2
                            2
                                                                   dt
                                 m     −∞

                 С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра-
            жением:
                   E=
                      mx& 2 kx 2 m 2
                       2
                           +
                             2
                                =
                                  2
                                                  m 2
                                    x& + ω 2 x 2 = ξ
                                                  2
                                                          (                 )
                                                                          (64)
                   Подставив сюда ξ (∞ ) , получим искомую передачу энергии и
                                              2


            импульса в виде:
                                 +∞                           2


                                 ∫ F (t )e
                       1                      − iωt
                   E=                                 dt
                      2m         −∞
                                +∞
                                                                                            (65)
                                ∫ F (t )e
                                            − iωt
                      p=                            dt
                                −∞

                 она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы F (t ) с
            частотой, равной собственной частоте системы.
                 В частности, если внешняя сила действует лишь в течение
                                                                                   1
            короткого промежутка времени (малого по сравнению с                      ), то можно
                                                                                   ω
            положить e −iωt ≈ 1 . Тогда
                                                      2
                       1              
                            +∞                 +∞
                   E=      ∫ F (t )dt  и p = ∫ F (t )dt .
                      2m  − ∞        
                                              −∞

                 Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что
            кратковременная сила сообщает системе импульс ∫ Fdt , не успев за это время
            произвести заметного смещения.




                                                                                             165

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com