Механика. Щербаченко Л.А. - 171 стр.

                                  Движение в быстро осциллирующем поле.
                 Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под
            действием постоянного поля U и силы:
                  f = f 1 cos ωt + f 2 sin ωt ,                                 (1)
                 меняющейся со временем с большой частотой ω ( f 1 , f 2 – функции
            только координат). Под “большой” мы понимаем при этом частоту,
                                                          1
            удовлетворяющую условию ω >>                    , где T – порядок величины периода
                                                          T
            движения, которое частица совершала бы в одном поле U. По своей
            величине сила f не предполагается слабой по сравнению с силами,
            действующими в поле U.
                 Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой
            колебательное смещение частицы (обозначенное ниже через ξ ,). Для
            упрощения вычислений рассмотрим сначала одномерное движение в поле,
            зависящем лишь от одной пространственной координаты х. Тогда
            уравнение движения частицы:
                              dU
                   m&x& = −      + f,                                                          (2)
                              dx
                 Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее
            движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной
            траектории с одновременными малыми осцилляциями (с частотой ω )
            вокруг нее. Соответственно этому представим функцию x(t ) в виде суммы
                  x(t ) = X (t ) + ξ (t )                                        (3)
                 где ξ (t ) представляет собой указанные малые осцилляции.
                                                                                   2π
                   Среднее значение функции ξ (t ) за время ее периода                обращается в
                                                                                   ω
            нуль, функция же X (t ) за это время меняется очень мало. Обозначая такое
            усреднение чертой над буквой, имеем: x = X (t ) , т.е. функция X (t )
            описывает усредненное по быстрым осцилляциям “плавное” движение
            частицы. Выведем уравнение, определяющее эту функцию.
                  Подставляя (3) в (2) и разлагая по степеням ξ , с точностью до членов
            первого порядка, получим
                                         d 2U                   ∂f
                                               + f (X , t ) + ξ
                                   dU
                   mX&& + mξ&& = −    −ξ                                                       (4)
                                   dX    dX  2
                                                                ∂X
                 В этом уравнении фигурируют члены различного характера –
            осциллирующие и “плавные”; они должны, очевидно, взаимно
            сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности. Для
            осциллирующих членов достаточно написать:
                 mξ&& = f ( X , t )                                        (5)
                 остальные содержат малый множитель ξ , и потому малы по срав-
            нению с написанными (что касается производной ξ&& , то она про-
            порциональна большой величине ω 2 и потому не мала). Интегрируя


                                                                                               171

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com