Механика. Щербаченко Л.А. - 172 стр.

            уравнение (5) с функцией f из (1) (при этом величина X рассматривается
            как постоянная), получим:
                                f
                        ξ =−                                                                         (6)
                               mω 2
                 Усредним теперь уравнение (4) по времени (в указанном выше
            смысле). Поскольку средние значения первых степеней f и ξ ,
            обращаются в нуль, получим уравнение
                                   dU    ∂f    dU   1     ∂f
                        mX&& = −      +ξ    =−    −     f    ,
                                   dX    ∂X    dX mω  2
                                                          ∂X
                 содержащее уже только функцию X (t ) . Перепишем его оконча-
            тельно в виде
                                   dU эф
                        mX&& = −             ,
                                    dX
                                                                                                     (7
            )
                где “эффективная потенциальная энергия” определяется сле-
            дующим образом:
                                       f2         f 12 + f 22
                        U эф = U +          = U +                                                    (8)
                                      2mω 2         4mω 2
                 Сравнивая это выражение с (6), легко видеть, что дополнительный
            (по отношению к полю U) член представляет собой не что иное, как
            среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения:
                                      m &2
                        U эф = U +      ξ                                                            (9)
                                      2
                 Таким образом, усредненное по осцилляциям движение частицы
            происходит так, как если бы, помимо постоянного поля U, действовало еще
            и дополнительное постоянное поле, квадратично зависящее от амплитуды
            переменного поля.


                           Устойчивость маятников с колеблющейся точкой подвеса.
                        Определим положение устойчивого равновесия маятника, точка подвеса
                                         которого совершает вертикальные колебания с
                                                                               g
                О
                                                     большой частотой γ  γ >>  .
                                                                                 
                                                                                         l 
                                                 X
                                                          Пусть     точка      подвеса       совершает
                                                     гармонические колебания по закону a cos γt . Найдём
                           l                         энергию системы, при этом будем считать, что вся
                    ϕ                                масса маятника сосредоточена на его конца, а
                                                     подвес абсолютно жёсткий:
                                                            E=     (
                                                                 m 2
                                                                 2
                                                                             )
                                                                   x& + y& 2 + U ( x, y ) ,

                                                           где x и y – координаты точки m:
                                         m

                                                                                                     172
             Y        Рис. 3
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com