Механика. Щербаченко Л.А. - 174 стр.

                 Подставляя выражения для x и y в формулу энергии системы и
            исключая полные производные по времени, получаем:
                       E=
                              m
                              2
                                 (                                                 )
                                (l cos ϕ ⋅ ϕ& − aγ sin γt )2 + (− l sin ϕ ⋅ ϕ& )2 − mgl cos ϕ
             E=
                 m 2
                 2
                      (                                                                                   )
                    l cos 2 ϕ ⋅ ϕ& 2 − 2laγ sin ϕ cos γt ⋅ ϕ& + a 2 γ 2 cos 2 γt + l 2 sin 2 ϕ ⋅ ϕ& 2 − mgl cos ϕ =

             =
               2
                  (
               m 2 2
                    &                         &
                                                   m 2 2
                                                    2
                                                        )
                 l ϕ − 2laγ sin ϕ cos γt ⋅ ϕ + a γ cos γt + mgl cos ϕ =
                                                                  2                      ml 2 2
                                                                                           2
                                                                                               ϕ& − mlaγ 2 sin ϕ cos γt −
                              2
                           ml
             − mgl cos ϕ =       ϕ& 2 − mlaγ 2 sin ϕ cos γt − mgl cos ϕ ⇒
                            2
                                   ml 2 2
                    Итак, E =           ϕ& − mlaγ 2 sin ϕ cos γt − mgl cos ϕ (где исключено выражение
                                     2
             mlaγ cos(ϕ + γt ) как полная производная по времени от некоторой функции) и
                  2


            потому в данном случае переменная сила равна:
                          f = maγ 2 cos ϕ cos γt ⇒

                       U эф   =U +
                                   (maγ    2
                                            cos ϕ   )
                                                    2

                                                            = −mgl cos ϕ +
                                                                             ma 2 γ 2 cos 2 ϕ        
                                                                                              = mgl  − cos ϕ +
                                                                                                                 a 2 γ 2 cos 2 ϕ 
                                                                                                                                 
                                          4mγ 2                                      4                                4 gl       
                  В положении устойчивого равновесия U эф минимальна и из условия
              ′ = 0 находим:
            U эф
                                      a 2 γ 2 2 cos ϕ sin ϕ 
                       mgl  sin ϕ −                         = 0 ⇒
                                                4 gl         
                       sin ϕ = 0
                       
                                   2 gl
                       cos  ϕ  =
                                  a 2γ 2
                 Если 2 gl > a 2 γ 2 , то устойчиво положение ϕ = 0 . Если же 2 gl < a 2γ 2 , то,
            как легко проверить, устойчивому положению отвечает лишь значение
                           2 gl
             cos ϕ =             .
                          a 2γ 2

                                                  Колебания связанных систем

                             Системы со многими степенями свободы.
                  Если система обладает несколькими степенями свободы, то при малых
            отклонениях от положения равновесия возможны одновременно колебания по
            всем степеням свободы. Например, в упомянутом раньше случае колебания
            моста одной из степеней свободы является его колебание в вертикальной
            плоскости, а другой – в горизонтальном направлении. Есть, конечно, и дру-
            гие степени свободы. Обычный маятник может колебаться в двух взаимно
            перпендикулярных вертикальных плоскостях, проходящих через точку
            подвеса. Поэтому он имеет две степени свободы. Если колебания,
            соответствующие каждой из степеней свободы, независимы друг от друга, т. е.
            не могут обмениваться друг с другом энергией, то рассмотрение движения
            системы с несколькими степенями свободы является чисто кинематической
                                                                                                                                      174

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com