Механика. Щербаченко Л.А. - 173 стр.

                       x = l sin ϕ
                      
                       y = l cos ϕ + a cos γt
                      Поскольку U (x, y ) = mgy , то:
                      U = − mgl cos ϕ − mga cos γt
                 Подставляя выражения для x и y в формулу энергии системы,
            получаем:
                      E=
                              m
                              2
                                (                                                 )
                                (l cos ϕ ⋅ ϕ& )2 + (− l sin ϕ ⋅ ϕ& − aγ sin γt )2 − mgl cos ϕ − mga cos γt
             E=
                 m 2
                 2
                      (                                                                                 )
                    l cos 2 ϕ ⋅ ϕ& 2 + l 2 sin 2 ϕ ⋅ ϕ& 2 + 2laγ sin ϕ sin γt ⋅ ϕ& + a 2 γ 2 sin 2 γt + mgl cos ϕ + mga cos γt =

             =
               2
                  (
               m 2 2
                                                      )
                 l ϕ& + 2laγ sin ϕ sin γt ⋅ ϕ& + mgl cos ϕ =
                                                                   ml 2 2
                                                                     2
                                                                         ϕ& + mlaγ 2 sin ϕ sin γt + mgl cos ϕ


                      В данном случае переменная сила равна:
                          f = −maγ 2 sin ϕ cos γt ⇒

                      U эф     =U +
                                    (maγ    sin ϕ
                                              2
                                                      )
                                                      2

                                                          = − mgl cos ϕ +
                                                                            ma 2 γ 2 sin 2 ϕ        
                                                                                             = mgl  − cos ϕ +
                                                                                                                a 2 γ 2 sin 2 ϕ 
                                                                                                                                
                                          4mγ 2                                    4                                 4 gl       
                  В положении устойчивого равновесия U эф минимальна и из условия
              ′ = 0 находим:
            U эф
              О                                                               a 2 γ 2 2 cos ϕ sin ϕ 
                                                  X             mgl  sin ϕ +                        = 0 ⇒
                                                                                        4 gl         
                                                                sin ϕ = 0
                                                                
                          ϕ         l                                        2 gl
                                                                cos  ϕ  = −
                                                                            a 2γ 2
                                                               Направление вертикально вниз всегда
                                                          устойчиво. При выполнении условия 2 gl < a 2γ 2
                                           m              устойчивым     является также   направление
                                                          вертикально вверх.

                                                          Определим теперь положение устойчивого равновесия
              Y                Рис. 4                     маятника, точка подвеса которого совершает
                                                          горизонтальные колебания с большой частотой γ
                         g   
             γ >>             по прежнему закону a cos γt . Найдём энергию системы, при этом
                         l   
                             
            опять же будем считать, что вся масса маятника сосредоточена на его конца,
            а подвес абсолютно жёсткий:
                      E=        (
                              m 2
                              2
                                          )
                                x& + y& 2 + U ( x, y ) ,

                      где x и y – координаты точки m:
                       x = l sin ϕ + a cos γt
                      
                       y = l cos ϕ
                      Поскольку U (x, y ) = mgy , то − U = mgl cos ϕ .
                                                                                                                                     173

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com