Механика. Щербаченко Л.А. - 177 стр.

                  В большинстве же случаев задача оказывается значительно сложнее.
            Существуют общие методы нахождения нормальных частот, на изложении
            которых мы здесь не имеем возможности остановиться.
                  Теперь выполним подробно математическое описание колебаний
            связанных систем на примере связанных маятников, ограничиваясь случаем
            двух степеней свободы. Будем считать, что маятники колеблются в одной и
            той же плоскости, совпадающей с вертикальной плоскостью, проходящей
            через точки подвеса и положение равновесия материальных точек
            математических маятников (рис. 7). При малых колебаниях можно
            пренебречь вертикальными смещениями точек и рассматривать их движение
            вдоль одной прямой. Положение колеблющихся точек характеризуется их
            смещениями x1 и x 2 от своих положений равновесия, обозначенных буквами
            O1 и O2 . Когда точки находятся одновременно в положениях равновесия,
            соединяющая их пружина не деформирована и не действует на точки с
            какими-либо силами.
                  Обозначим частоту нормального колебания маятников, когда они
            колеблются синхронно (в одной и той же фазе), через ω1 , а когда в
            противофазе – через ω 2 . Ясно, что ω 2 > ω1 . Общее колебание системы является
            суперпозицией двух нормальных колебаний. В соответствии со
            сказанным выше о способе разложения произвольного движения связанных
            маятников можем написать:
                   x1 = A sin (ω1t + ϕ 1 ) + B sin (ω 2 t + ϕ 2 )
                                                                                      (10)
                   x 2 = A sin (ω1t + ϕ 1 ) − B sin (ω 2 t + ϕ 2 )
                     Четыре неизвестные постоянные A, В, ϕ1 и ϕ 2 определяются из
            начальных условий, выражающих значения отклонений x10 , x 20 и скоростей x&10 ,
            x& 20 в начальный момент времени, например t = 0 :
                   x10 = A sin ϕ1 + B sin ϕ 2
                   x 20 = A sin ϕ 1 − B sin ϕ 2
                                                                                      (11)
                   x&10 = Aω1 cos ϕ1 + Bω 2 cos ϕ 2
                   x& 20 = Aω1 cos ϕ 1 − Bω 2 cos ϕ 2
                 Найдя из уравнений (2) величины A, В, ϕ1 и ϕ 2 , мы полностью опишем
            движение с помощью формул (1).
                 Теперь решим ту же задачу, применяя непосредственно динамические
            законы движения. Запишем уравнения движения заданных математических
            маятников, считая их длину l одинаковой:
                         g                g
                   α&&1 = − α 1 , α&&2 = − α 2                                 (12)
                          l               l
                   где α 1 и α 2 – углы отклонения каждого из заданных маятников от
            вертикалей. Отклонения от положения равновесия связаны с углами α 1 и α 2
            очевидными соотношениями (рис. 7): x1 = α 1l , x 2 = α 2 l . Поэтому уравнения
            движения материальных точек без учета их связи пружиной имеют вид:
                              g              g
                   &x&1 = −     x1 , &x&2 = − x 2                                     (13)
                              l              l

                                                                                       177

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com