Механика. Щербаченко Л.А. - 178 стр.

                  При деформации пружины возникают силы, пропорциональные
            удлинению (закона Гука). Удлинение пружины есть x 2 − x1 и потому силы,
            действующие на материальные точки, равны
                  F1 = − F2 = D( x 2 − x1 )                                    (14)
                  где D – коэффициент пропорциональности. Поэтому уравнения
            движения точек с учетом сил связи посредством пружины имеют вид:
                             x1 + D( x 2 − x1 )
                           g
                   &x&1 = −
                           l
                                                                                         (15)
                   &x&2 = − x 2 − D( x 2 − x1 )
                           g
                           l
                  где т – одинаковая масса материальных точек. Проще всего эти два
            связанных уравнения решить следующим образом. Складывая их левые и
            правые части, а затем вычитая, получим:
                   &x&1 + &x&2 = −
                                  g
                                    (x1 + x 2 )
                                  l
                   &x&1 − &x&2 = − ( x1 − x 2 ) −    (x1 − x 2 )
                                  g               2D
                                  l                m
                 Таким образом, уравнение для суммы и разности отклонений
            маятников имеет вид уравнений свободных гармонических колебаний:
                   (x1 + x 2 )″ + ω12 (x1 + x 2 ) = 0
                                                      ,                                  (16)
                              ″
                   (x1 − x 2 ) + ω 2 (x1 − x 2 ) = 0
                                    2


                   где
                              g
                   ω1 =
                              l
                                                                                        (16а)
                              g 2D
                   ω2 =         +
                              l   m
                   Решение этих уравнений хорошо известно:
                   x1 + x2 = Ao sin (ω1t + ϕ1 )
                                                                                         (17)
                   x1 − x2 = Bo sin (ω 2 t + ϕ 2 )
                 Отсюда для отклонений x1 и x 2 путем сложения и вычитания левых и
            правых частей получаем:
                          sin (ω1t + ϕ1 ) + o sin (ω 2 t + ϕ 2 )
                       Ao                  B
                   x1 =
                        2                   2                                            (18)
                   x2 = o sin (ω1t + ϕ1 ) − o sin (ω 2 t + ϕ 2 )
                       A                   B
                        2                   2
                   Эти формулы, как и следовало ожидать, совпадают с формулами (1),
                                         A0      B
            если положить A =               , B = 0 . Поэтому величины ω1 и ω 2 , определённые
                                         2        2
            формулами    (7а),   являются   нормальными      частотами   колебаний
            рассматриваемой связанной системы с двумя степенями свободы.




                                                                                           178

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com