Механика. Щербаченко Л.А. - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

238
Уравнения (47) называют уравнениями Эйлера. При свободном
вращении
0
=
K
r
, так что уравнения Эйлера принимают вид:
0
0
0
21
3
12
3
13
2
31
2
32
1
23
1
=ΩΩ
−
+
Ω
=ΩΩ
−
+
Ω
=ΩΩ
−
+
Ω
I
II
dt
d
I
II
dt
d
I
II
dt
d
(48)
В качестве примера применим эти уравнения к уже рас-
сматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка.
Положив
21
II
=
, имеем из третьего уравнения 0
3
=Ω
&
, т. е. const
=
Ω
3
.
После этого первые два уравнения напишем в виде:
21
Ω−=Ω ω
&
,
12
Ω=Ωω
&
,
где введена постоянная величина:
1
13
3
I
II
Ω=ω . (49)
Умножив второе уравнение на i и сложив с первым, получим:
( ) ( )
2121
Ω+Ω=Ω+Ω iii
dt
d
ω ,
откуда:
ti
Aei
ω
=Ω+Ω
21
,
где А – постоянная; последнюю можно считать вещественной (это
сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда:
tA
ω
cos
1
=
Ω
, tA
ω
sin
2
=
Ω
(50)
Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на
плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с
угловой скоростью
ω
, оставаясь постоянной по величине
(
)
A=Ω+Ω
2
2
2
1
.
Поскольку проекция
3
Ω
r
на ось волчка тоже постоянна, то мы заключаем, что
и весь вектор
Ω
r
равномерно вращается с угловой скоростью
ω
вокруг оси
волчка, оставаясь неизменным по величине. Ввиду связи
111
Ω
=
IM ,
222
Ω
=
IM ,
333
Ω
=
IM между компонентами векторов
Ω
r
и
M
r
такое же
движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор
момента
M
r
.
Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой
аспект того же движения волчка, которое уже было ранее рассмотрено по
отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая
скорость вращения вектора
M
r
(ось Z на рис. 7) вокруг направления
3
x
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                 Уравнения
                     r        (47) называют уравнениями Эйлера. При свободном
            вращении K = 0 , так что уравнения Эйлера принимают вид:
                                       d Ω1 I 3 − I 2
                                           +          Ω 2Ω3 = 0
                                        dt      I1
                                            dΩ 2 I 1 − I 3
                                                +          Ω 3 Ω1 = 0                      (48)
                                             dt      I2
                                       dΩ 3 I 2 − I 1
                                             +          Ω1 Ω 2 = 0
                                         dt       I3
                 В качестве примера применим эти уравнения к уже рас-
            сматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка.
            Положив I1 = I 2 , имеем из третьего уравнения Ω         & 3 = 0 , т. е. Ω 3 = const .
            После этого первые два уравнения напишем в виде:
                                    & 1 = −ωΩ 2 ,
                                    Ω                           Ω& 2 = ωΩ1 ,
                 где введена постоянная величина:
                                                         I −I
                                               ω = Ω3 3 1 .                                (49)
                                                            I1
                 Умножив второе уравнение на i и сложив с первым, получим:
                                        d
                                           (Ω1 + iΩ 2 ) = iω (Ω1 + iΩ 2 ) ,
                                        dt
              откуда:
                                                 Ω1 + iΩ 2 = Ae iωt ,
                 где А – постоянная; последнюю можно считать вещественной (это
            сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда:
                                     Ω1 = A cos ωt , Ω 2 = A sin ωt          (50)
                 Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на
            плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с
            угловой скоростью ω , оставаясь постоянной по величине Ω12 + Ω 22 = A .
                                       r
                                                                                   (              )
            Поскольку проекция Ω 3 на ось волчка тоже постоянна, то мы заключаем, что
                              r
            и весь вектор Ω равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси
            волчка, оставаясь неизменным по величине. Ввиду связи M 1 = I1Ω1 ,
                                                                      r   r
            M 2 = I 2 Ω 2 , M 3 = I 3 Ω 3 между компонентами векторов Ω и M такое же
            движение r(по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор
            момента M .
                  Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой
            аспект того же движения волчка, которое уже было ранее рассмотрено по
            отношению к неподвижной rсистеме координат. В частности, угловая
            скорость вращения вектора M (ось Z на рис. 7) вокруг направления x3



                                                                                              238

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы