Механика. Щербаченко Л.А. - 236 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

236
K
dt
Md
r
r
=
Момент сил тяжести, действующих на волчок, равен
[
]
gnlK
r
r
r
3
⋅= µ , где
3
n
– единичный вектор в направлении оси волчка. Из соображений
симметрии очевидно, что результат усреднения
по “конусу нутации”
сводится к замене вектора
3
n
его проекцией
M
M
r
r
⋅
αcos
на направление
M
r
(
α
– угол между
M
r
и осью волчка). Таким образом, получим уравнение:
[
]
Mg
M
l
dt
Md
r
r
⋅
⋅
⋅−=
µ
αcos
.
Оно означает, что вектор
M
r
прецессирует вокруг направления
g
r
(вертикали) со средней угловой скоростью
g
M
l
пр
r
α
µ
cos
⋅
−=Ω
(42)
(малой по сравнению с
нут
Ω
).
В рассматриваемом приближении входящие в формулы (41) и (42)
величины
M
и
αcos
постоянны (хотя и не являются, строго говоря,
интегралами движения). Они связаны, с той же точностью, со строго
сохраняющимися величинами
E
и
3
M соотношениями:
α
cos
3
MM
=
,
+≈
′
1
2
sin
3
22
cos
2
I
I
M
E
α
α
. (43)
Уравнения Эйлера.
Уравнения движения, написанные в главе “уравнения движения
твёрдого тела” относятся к неподвижной системе координат: производные
dt
Pd
r
и
dt
dM
в уравнениях (20) и (22) представляют собой изменения векторов
P
r
и
M
r
по отношению к этой системе. Между тем, наиболее простая связь
между компонентами вращательного момента
M
r
твердого тела и
компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе
координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того
чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно
преобразовать уравнения движения к подвижным координатам
1
x ,
2
x ,
3
x .
Пусть
dt
Ad
r
– скорость изменения какого-либо вектора
A
r
по отношению
к неподвижной системе координат. Если по отношению к вращающейся
системе вектор
A
r
не изменяется, то его изменение относительно
неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                       r
                                                     dM   r
                                                         =K
                                                      dt
                                                                      r       r r
                  Момент сил тяжести, действующих на волчок, равен K = µ ⋅ l [n3 g ] , где
             r
            n3 – единичный вектор в направлении оси волчка. Из соображений
                                                                   r
            симметрии очевидно, что результат усреднения Kr по “конусу нутации”
                                      r                            M                r
            сводится к замене вектора n3 его проекцией cos α ⋅ r на направление M ( α
                                                                   M
                           r
            – угол между M и осью волчка). Таким образом, получим уравнение:
                                         dM
                                          dt
                                             = − cos α ⋅
                                                          µ ⋅l r r
                                                          M
                                                                  [
                                                               g ⋅M .    ]
                                                r                                        r
                  Оно означает, что вектор M прецессирует вокруг направления g
            (вертикали) со средней угловой скоростью
                                                  µ ⋅ l cos α r
                                         Ω пр = −             g                   (42)
                                                       M
                  (малой по сравнению с Ω нут ).
                  В рассматриваемом приближении входящие в формулы (41) и (42)
            величины M и cos α постоянны (хотя и не являются, строго говоря,
            интегралами движения). Они связаны, с той же точностью, со строго
            сохраняющимися величинами E и M 3 соотношениями:
                                                     M 2  cos 2 α sin 2 α 
                                 M 3 = M cos α , E ≈             +        .       (43)
                                                      2  I 3        I1′ 
                                                                           

                                           Уравнения Эйлера.
                   Уравнения движения, написанные в главе “уравнения движения
            твёрдого
               r        тела” относятся к неподвижной системе координат: производные
            dP      dM
                 и        в уравнениях (20) и (22) представляют собой изменения векторов
             dt
             r     r dt
            P и M по отношению к этой системе. Между тем, наиболее r       простая связь
            между компонентами вращательного момента M твердого тела и
            компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе
            координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того
            чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно
            преобразовать уравнения движения к подвижным координатам x1 , x2 , x3 .
                             r
                            dA                                           r
                   Пусть       – скорость изменения какого-либо вектора A по отношению
                            dt
            к неподвижной системе r
                                        координат. Если по отношению к вращающейся
            системе вектор A не изменяется, то его изменение относительно
            неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда


                                                                                      236

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы