Механика. Щербаченко Л.А. - 234 стр.

                   Из уравнений (1) и (2) находим:
                                           M − M 3 cos ϕ
                                      ϕ& = z                                                       (36)
                                                I1′ sin 2 θ
                                           M                M − M 3 cos θ
                                      ψ& = 3 − cos θ z                                             (37)
                                            I3                 I1′ sin 2 θ
                   Исключив с помощью этих равенств ϕ& и ψ& из энергии (3), получим:
                                                         I′
                                                  E ′ = 1 θ& 2 + U эфф (θ ) ,
                                                          2
                   где введены обозначения
                                 M 32                        (M z − M 3 cosθ )
                                                                                 2
                        E′ = E −       − µgl , U эфф (θ ) =                        − µgl (1 − cosθ ) (38)
                                 2I 3                              2 I1′ sin 2 θ
                   Определим отсюда θ& :
                                                       I1′θ&
                                                               = E ′ −U эфф (θ )
                                                        2

                                                θ& =
                                                            2
                                                                (E ′ − U эфф (θ ))                  (39)
                                                            I1′
                                                                      dθ
                                                 dt =
                                                               2
                                                                   (E ′ − U эфф (θ ))
                                                               I1′
                                                                      dθ
                                                 t=∫
                                                               2
                                                                   (E ′ − U эфф (θ ))
                                                               I1′

                    (интеграл — эллиптический). После этого углы ψ и ϕ выражаются
            как функции от θ в виде квадратур с помощью уравнений (4), (5).
                   Область изменения угла θ при движении определяется условием
            E ′ ≥ U эфф (θ ) . Функция U эфф (θ ) (при M 3 ≠ M z ) стремится к + ∞ при
            значениях θ = 0 и θ = π , а в промежутке между ними проходит через
            минимум. Поэтому уравнение E ′ = U эфф (θ ) имеет два корня, которые
            определяют предельные углы θ1 и θ 2 наклона оси волчка к вертикали.
                 При изменении угла θ от θ1 до θ2 знак производной ϕ& остается
            неизменным или меняется, в зависимости от того, остается ли неизменным
            или меняется в этом интервале знак разности M z − M 3 cos θ .
                                                               В первом случае ось
                                                        волчка прецессирует вокруг
                                                        вертикали         монотонно,
                                                        одновременно        совершая

                                                                                                       234

PDF created with FinePrint pdfFactory ProРис.
                                          trial8 version http://www.fineprint.com