Механика. Щербаченко Л.А. - 232 стр.

                    Угол θ пробегает значения от нуля до π, а углы φ и ψ – от нуля до 2 π 5)
            .
                  Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости Ω по
            подвижным осям x1 , x 2 , x 3 через эйлеровы углы и их производные. Для этого
            надо спроектировать на эти оси угловые скорости θ& , ϕ& , ψ& . Угловая скорость
            θ& направлена по линии узлов ON и ее составляющие по осям x1 , x 2 , x 3
            равны:
                                          θ&1 =θ& cosψ , θ&1 = −θ& sin ψ , θ&3 = 0 .
                  Угловая скорость ϕ& направлена вдоль оси Z; ее проекция на ось x3
            равна ϕ&3 = ϕ& cosθ , а проекция на плоскость x1 x 2 равна ϕ& sin θ . Разлагая
            последнюю на составляющие по осям x1 и x 2 , получим:
                                      ϕ&1 = ϕ& sin θ sinψ , ϕ& 2 = ϕ& sin θ cosψ .
                  Наконец, угловая скорость ψ& направлена по оси х3.
                  Собирая все эти составляющие по каждой из осей, получим
            окончательно:
                                       Ω1 = ϕ& sin θ sinψ + θ& cosψ
                                       Ω 2 = ϕ& sin θ cosψ − θ& sinψ                  (29)
                                              Ω 3 = ϕ& cos θ + ψ&
                  Если оси x1 , x2 , x3 выбраны по главным осям инерции твердого тела,
            то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы,
            мы получим подстановкой (29) в (10).
                  Для симметрического волчка, у которого I1 = I 2 ≠ I 3 , найдем после
            простого приведения:
                                        I
                                     вр 2    (          )
                                                        I
                                                         2
                                                                        2
                                    T = 1 ϕ& 2 sin 2 θ + 3 ( ϕ& cos+ψ& ) .                       (30)
                    Заметим, что это выражение можно получить и проще, вос-
            пользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции
            x1 , x 2 у симметрического волчка. Считая, что ось x1 совпадает с осью узлов
            ON, т. е. чтоψ = 0 , будем иметь для составляющих угловой скорости более
            простые выражения
                               Ω1 = θ& , Ω 2 = ϕ& sinθ , Ω 3 = ϕ& cosθ +ψ&                     (31)
                 В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим
            с их помощью известное уже нам свободное движение симметрического
            волчка.

                          π
            5
                Углы θ и ϕ − представляют собой соответственно полярный угол и азимут
                           2
                                                                          π
            направления x3 по отношению к осям X, Y, Z. В то же время θ и   − ψ являются
                                                                          2
            соответственно полярным углом и азимутом направления Z по отношению к осям x1 , x 2 , x 3 .

                                                                                                      232

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com