Механика. Щербаченко Л.А. - 233 стр.

                  Выберем ось Z неподвижной системы координат в направлении
            постоянного момента волчка М. Ось х3 подвижной системы направлена по
            оси волчка, а ось x1 пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов.
            Тогда для компонент вектора М находим с помощью формул (31):

                  С другой стороны, поскольку ось x1 (линия узлов) перпендикулярна к
            оси Z, имеем:
                              M 1 = 0 , M 2 = M sin θ , M 3 = M cosθ .
                 Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие
            уравнения:
                                θ& = 0 , I1ϕ& = M , I 3 (ϕ& cos θ +ψ& ) = M cosθ .
                                                                                (32)
                 Первое из этих уравнений дает
                                             r     θ = const , т. е. постоянство угла
            наклона оси волчка к направлению M . Второе определяет (в согласии с (19))
                                                    M
            угловую скорость прецессии ϕ& =            .Наконец, третье определяет угловую
                                                    I1
                                                                                   M cosθ
            скорость вращения волчка вокруг собственной оси Ω 3 =                           .
                                                                                     I3
                  Рассмотрим теперь движение тяжелого симметрического волчка с
            неподвижной нижней точкой (рис. 7).
                  Решение. Совместное начало подвижной и
            неподвижной          систем         координат          выбираем      в
            неподвижной точке волчка О, а ось Z направляем по
            вертикали (рис. 7). Функция Лагранжа волчка в поле
            тяжести равна:

            L=
                     2
                            (
                I1 + µ ⋅ l 2 & 2
                                           )       I
                             θ + ϕ& 2 sin 2 θ + 3 (ψ& + ϕ& cosθ ) − µgl cosθ
                                                   2
                                                                      2


                  ( µ – масса волчка, l – расстояние от нижней
                                                                                              Р
            точки до центра инерции).                                                   ис. 7
                  Координаты ψ и ϕ – циклические. Поэтому имеем два интеграла
            движения:
                           ∂L
                   pψ =        = I 3 (ψ& + ϕ& cosθ ) = const = M 3                              (33)
                          ∂ψ&
                   pϕ =
                          ∂L
                          ∂ϕ&
                                (                    )
                              = I1′ sin 2 θ + I 3 cos 2 θ ϕ& + I 3ψ& cosθ = const = M z         (34)

                  где введено обозначение I1′ = I1 + µ ⋅ l 2 (величины pψ и pϕ
            представляют собой составляющие вращательного момента, определенного
            относительно точки О, соответственно по осям x3 и Z). Кроме того,
            сохраняется энергия:
                      I′
                      2
                           (               ) I
                  E = 1 θ& 2 + ϕ& 2 sin 2 θ + 3 (ψ& + ϕ& cos θ ) + µgl cosθ
                                              2
                                                                2
                                                                            (35)


                                                                                                233

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com