Механика. Щербаченко Л.А. - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

235
колебания (так называемую нутацию) вверх и вниз (рис. 8, а; линия
изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с
центром в неподвижной точке волчка). Во втором случае направление
прецессии противоположно на двух граничных окружностях, так что ось
волчка перемещается вокруг вертикали, описывая петли (рис. 8, б). Наконец,
если одно из значений
1
θ
или
2
θ
совпадает с нулем, разности
θ
cos
3
MM
z
−
на соответствующей предельной окружности
ϕ
&
и θ
&
одновременно
обращаются в нуль, так что ось волчка описывает траекторию,
изображенную на рис. 8, в.
Найдём теперь условие, при котором вращение волчка вокруг
вертикальной оси будет устойчивым.
Пусть при
0=θ
оси
3
x и Z совпадают, так что
3
MM
z
=
,
=
.
Вращение вокруг этой оси будет устойчивым, если при
0=θ
функция
(
)
θ
эфф
U принимает своё минимальное значение. При малых
θ
имеем:
( )
2
1
2
3
28
θ
µ
θ
&
−
′
≈
gl
I
M
U
эфф
.
Чтобы функция
(
)
θ
эфф
U принимала минимальное значение при
0=θ
,
необходимо следующее условие:
0
28
1
2
3
>
−
′
gl
I
M
µ
откуда находим условие glIM
µ
1
2
3
4
′
>
. Окончательно получаем условие
для
3
Ω
:
2
3
1
3
3
3
4
I
glI
I
M µ
′
>=Ω
. (40)
В заключение, определим движение волчка в случае, когда кинетическая
энергия его собственного вращения велика по сравнению с энергией в поле
тяжести (так называемый “быстрый” волчок).
В первом приближения, если пренебречь
полем тяжести, происходит свободная прецессия
оси волчка вокруг направления момента
M
r
, от-
вечающая в данном случае нутации волчка,
которая происходит согласно (19) с угловой
скоростью
1
I
M
пр
=Ω
(41)
В следующем приближении появляется
медленная прецессия момента
M
r
вокруг на-
правления вертикали (рис. 9). Для определения скорости этой прецессии
усредним точное уравнение движения по периоду нутации (22):
Рис. 9
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            колебания (так называемую нутацию) вверх и вниз (рис. 8, а; линия
            изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с
            центром в неподвижной точке волчка). Во втором случае направление
            прецессии противоположно на двух граничных окружностях, так что ось
            волчка перемещается вокруг вертикали, описывая петли (рис. 8, б). Наконец,
            если одно из значений θ1 или θ 2 совпадает с нулем, разности M z − M 3 cos θ
            на соответствующей предельной окружности ϕ& и θ& одновременно
            обращаются в нуль, так что ось волчка описывает траекторию,
            изображенную на рис. 8, в.
                   Найдём теперь условие, при котором вращение волчка вокруг
            вертикальной оси будет устойчивым.
                   Пусть при θ = 0 оси x3 и Z совпадают, так что M z = M 3 , E ′ = 0 .
            Вращение вокруг этой оси будет устойчивым, если при θ = 0 функция
            U эфф (θ ) принимает своё минимальное значение. При малых θ имеем:
                                                      M 32 µgl  & 2
                                       U эфф (θ ) ≈        −   θ .
                                                                 
                                                      1
                                                       8 I ′   2 
                 Чтобы функция U эфф (θ ) принимала минимальное значение при θ = 0 ,
            необходимо следующее условие:
                                             M 32 µgl 
                                                            
                                             8I ′ − 2  > 0
                                             1              
                 откуда находим условие M 32 > 4 I1′µgl . Окончательно получаем условие
            для Ω 3 :
                                               M3     4 I1′µgl
                                                Ω3 =
                                                   >           .                 (40)
                                               I3        I 32
               В заключение, определим движение волчка в случае, когда кинетическая
               энергия его собственного вращения велика по сравнению с энергией в поле
               тяжести (так называемый “быстрый” волчок).
                 В первом приближения, если пренебречь
            полем тяжести, происходит свободная прецессия
                                                   r
            оси волчка вокруг направления момента M , от-
            вечающая в данном случае нутации волчка,
            которая происходит согласно (19) с угловой
            скоростью
                                           M
                                  Ω пр =                         (41)
                                           I1
               В следующем приближении появляется
                                              r                     Рис. 9
               медленная прецессия момента M вокруг на-
               правления вертикали (рис. 9). Для определения скорости этой прецессии
               усредним точное уравнение движения по периоду нутации (22):

                                                                                     235

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы