Механика. Щербаченко Л.А. - 237 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

237
[
]
A
dt
Ad
r
r
r
⋅Ω=
Это выражение легко получить, рассмотрев линейное перемещение
конца радиуса-вектора
A
r
при повороте последнего на малый угол dtd ⋅Ω=
r
r
ϕ .
Это перемещение равно ϕθ dAAd ⋅= sin
, где
θ
- угол между векторами
A
r
и
Ω
r
. Отсюда, собственно, следует, что
[
]
dtAAd ⋅⋅Ω=
r
r
r
.
В общем случае к правой части этого равенства надо добавить скорость
изменения вектора
A
r
по отношению к подвижной системе; обозначив эту
скорость, как
dt
Ad
r
′
, получим:
[
]
A
dt
Ad
dt
Ad
r
r
r
r
⋅Ω+
′
= (44)
С помощью этой общей формулы мы можем сразу переписать
уравнения (20) и (22) в виде:
[ ]
FP
dt
Pd
rrr
r
=⋅Ω+
′
,
[ ]
KM
dt
Md
rrr
r
=⋅Ω+
′
(45)
Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в
подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать
уравнения на оси этой системы, написав:
dt
dP
dt
Pd
1
1
=
′
r
, …,
dt
dM
dt
Md
1
1
=
′
r
, …,
где индексы 1, 2, 3 означают компоненты по осям
1
x ,
2
x ,
3
x . При этом
в первом уравнении заменяем
P
r
на V
r
µ и получаем:
31221
3
23113
2
12332
1
FVV
dt
dV
FVV
dt
dV
FVV
dt
dV
=
Ω−Ω+
=
Ω−Ω+
=
Ω−Ω+
µ
µ
µ
(46)
Предполагая оси
1
x ,
2
x ,
3
x выбранными по главным осям инерции,
пишем во втором из уравнений (45)
111
Ω
=
IM и т. д. и получаем:
( )
( )
( )
32112
3
3
21331
2
2
13223
1
1
KII
dt
d
I
KII
dt
d
I
KII
dt
d
I
=ΩΩ−+
Ω
=ΩΩ−+
Ω
=ΩΩ−+
Ω
(47)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                           r
                                                            [
                                                         dA r r
                                                          dt
                                                                    ]
                                                               = Ω⋅ A
                  Это выражение легко получить, рассмотрев линейное перемещение
                                     r                                                     r r
            конца радиуса-вектора A при повороте последнего на малый угол dϕ = Ω ⋅ dt .
                                          r                                                    r
            Это перемещение равно dA = A sin θ ⋅ dϕ , где θ - угол между векторами A и
             r
                                                                [
                                                              r r r
            Ω . Отсюда, собственно, следует, что dA = Ω ⋅ A ⋅ dt .      ]
                  В общем случаеr к правой части этого равенства надо добавить скорость
            изменения вектораr A по отношению к подвижной системе; обозначив эту
                          d ′A
            скорость, как      , получим:
                          dt                      r        r
                                                dA d ′A r r
                                                dt
                                                     =
                                                        dt
                                                           [ + Ω⋅ A ]                        (44)
                  С помощью этой общей формулы мы можем сразу переписать
            уравнения (20) и (22) в виде:r                                r
                                        d ′P r r
                                         dt
                                                [     ]
                                              + Ω⋅ P = F ,
                                                              r       d ′M
                                                                        dt
                                                                            [   ]
                                                                                r r
                                                                              + Ω⋅M = K
                                                                                         r
                                                                                             (45)
                  Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в
            подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать
            уравнения на оси этой системы, написав:
                                          r                           r
                                      d ′P        dP1          d ′M        dM 1
                                           =         , …,          =        , …,
                                       dt   1     dt             dt   1     dt
                  где индексы 1, 2, 3 означают компоненты по осям x1 , x2 , x3 . При этом
                                                 r          r
            в первом уравнении заменяем P на µV и получаем:
                                               dV                          
                                           µ  1 + Ω 2V3 − Ω 3V2  = F1
                                               dt                          
                                               dV                         
                                           µ  2 + Ω 3V1 − Ω1V3  = F2                       (46)
                                               dt                         
                                               dV                         
                                           µ  3 + Ω1V2 − Ω 2V1  = F3
                                               dt                         
                  Предполагая оси x1 , x2 , x3 выбранными по главным осям инерции,
            пишем во втором из уравнений (45) M 1 = I1Ω1 и т. д. и получаем:
                                               dΩ1
                                           I1         + (I 3 − I 2 )Ω 2 Ω 3 = K1
                                                 dt
                                                dΩ 2
                                           I2          + (I1 − I 3 )Ω 3 Ω1 = K 2             (47)
                                                 dt
                                                dΩ 3
                                           I3          + (I 2 − I1 )Ω1Ω 2 = K 3
                                                 dt

                                                                                             237

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы