Механика. Щербаченко Л.А. - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

230
Отсюда видно, в частности, что величина момента сил не зависит от
выбора начала координат, если полная сила
0
=
F
r
(в таком случае говорят,
что к телу приложена пара сил).
Уравнение (22) можно рассматривать как уравнение Лагранжа:
ϕ∂
∂
=
Ω∂
∂
L
L
dt
d
по отношению к “вращательным координатам”. Действительно,
дифференцируя функцию Лагранжа (6) по компонентам вектора Ω,
получим:
ikik
MI
L
=Ω=
Ω∂
∂
Изменение же потенциальной энергии U при повороте тела на
бесконечно малый угол
ϕ
d
равно:
[
]
[
]
δϕδϕδϕδδ KfrrfrfU
r
r
r
r
r
r
r
−=⋅−=⋅⋅−=⋅−=
∑∑∑
откуда
ϕ∂
∂
−=
U
K
(25)
так что
Предположим, что векторы
F
r
и
K
r
взаимно перпендикулярны. В этом
случае всегда можно найти такой вектор
a
r
, чтобы в формуле (25)
K
′
r
обратилось в нуль, так что будет:
[
]
FaK
r
r
r
⋅= (26)
При этом выбор а неоднозначен, прибавление к нему любого вектора,
параллельного F, не изменит равенства (26), так что условие
0
=
′
K
r
даст не
определенную точку в подвижной системе координат, а лишь определенную
прямую линию. Таким образом, при
F
K
r
r
⊥
действие всех приложенных к
нему сил может быть сведено к одной силе
F
r
, действующей вдоль опре-
деленной прямой линии.
Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором
действующая на материальную точку сила имеет вид Eef
r
r
=
, где
E
r
—
постоянный вектор, характеризующий поле, а величина е характеризует
свойства частицы по отношению к данному полю
4
), В этом случае имеем:
∑
= eEF
r
r
,
[
]
∑
⋅= EreK
r
r
r
4
Так, в однородном электрическом поле
E
r
есть напряженность поля, а е — заряд частицы. В
однородном поле тяжести
E
r
есть ускорение силы тяжести
g
r
, а е - масса частицы m
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                  Отсюда видно, в частности, что величина
                                                       r момента сил не зависит от
            выбора начала координат, если полная сила F = 0 (в таком случае говорят,
            что к телу приложена пара сил).
                  Уравнение (22) можно рассматривать как уравнение Лагранжа:
                                                         d ∂L ∂L
                                                              =
                                                         dt ∂Ω ∂ϕ
                по отношению к “вращательным координатам”. Действительно,
                дифференцируя функцию Лагранжа (6) по компонентам вектора Ω,
                получим:
                                                  ∂L
                                                      = I ik Ω k = M i
                                                 ∂Ω i
                 Изменение же потенциальной энергии U при повороте тела на
            бесконечно малый угол dϕ равно:
                              δU = −∑
                                           r r
                                                    ∑
                                                      r      r         r r     r
                                                                                [ ]
                                           f ⋅δr = − f ⋅[δϕ ⋅r ]= −δϕ r ⋅ f = −Kδϕ
                                                                     ∑
                   откуда
                                                                    ∂U
                                                           K =−
                                                                    ∂ϕ
                                                                                                      (25)
                 так что                      r      r
                 Предположим, что векторы F и K взаимно перпендикулярны. В этом      r
                                                            r
            случае всегда можно найти такой вектор a , чтобы в формуле (25) K ′
            обратилось в нуль, так что будет:
                                              r r r
                                              K =[a ⋅ F ]                         (26)
                 При этом выбор а неоднозначен, прибавление к нему любогоr     вектора,
            параллельного F, не изменит равенства (26), так что условие K ′ = 0 даст не
            определенную точку в подвижной системе r координат,
                                                          r      а лишь определенную
            прямую линию. Таким образом, при K ⊥ F действие
                                                       r        всех приложенных к
            нему сил может быть сведено к одной силе F , действующей вдоль опре-
            деленной прямой линии.
                 Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором
                                                                   r   r       r
            действующая на материальную точку сила имеет вид f = eE , где E —
            постоянный вектор, характеризующий поле, а величина е характеризует
            свойства частицы по отношению к данному полю4), В этом случае имеем:
                                             r r
                                             F = E∑ e ,
                                                                r
                                                                      [r r
                                                                K = ∑ er ⋅ E    ]
                                                   r
            4
             Так, в однородном электрическом поле E есть напряженность поля, а е — заряд частицы. В
                                     r                            r
            однородном поле тяжести E есть ускорение силы тяжести g , а е - масса частицы m.

                                                                                                        230

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы