Механика. Щербаченко Л.А. - 229 стр.

                   с функцией Лагранжа (6), для которой:
                                        ∂L    r r ∂L       ∂U r
                                         r = µV = P , r = − r = F .
                                        ∂V           ∂R    ∂R
                 Перейдем к выводу второго уравнения движения, определяющего
            производную по времени от момента импульса М. Для упрощения вывода
            удобно выбрать «неподвижную» (инерциальную) систему отсчета таким
            образом, чтобы в данный момент времени центр инерции тела покоился
            относительно нее.
                 Имеем:

                                                                 [ ] [ ]
                                       r& d r r           r r       r r
                                       M = ∑ [r ⋅ p] = ∑ r& ⋅ p + ∑ r ⋅ p& .
                                          dt
                    В силу сделанного нами выбора системы отсчета (в которой V = 0)
                         r                                                       r
            значение r& в данный момент времени совпадает со скоростью v = r& .
                                          r      r    r
            Поскольку же векторы v и p = mv имеют одинаковое направление,
               [r r
                    ]                     r
            то r& ⋅ p = 0 . Заменив также p& на силу f , получим окончательно:
                                                      r
                                                    dM r
                                                        =K                         (22)
                                                     dt

                   где
                                                         r r
                                                          [ ]
                                                    r
                                                    K =∑ r ⋅ f                    (23)
                  Поскольку момент М определен относительно центра инерции (см.
            момент импульса твёрдого тела), он не меняется при переходе от одной
            инерциальной системы отсчета к другой. Отсюда следует, что уравнение
            движения (22), полученное здесь при определенном выборе системы отсчета,
            тем самым, в силу галилеевского принципа относительности, справедливо в
            любой инерциальной системе.
                           r r                               r                r
                  Вектор [r ⋅ f ] называется моментом силы f , так что K есть сумма
                                                                                r
            моментов всех сил, действующих на тело. Как и в полной силе F , в сумме
            (23) фактически должны учитываться лишь внешние силы; в соответствии с
            законом сохранения момента импульса сумма моментов всех сил,
            действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в нуль.
                  Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще говоря, от
            выбора начала координат, относительно которого он определен. В (22), (23)
            моменты определяются относительно центра инерции тела.
                                                                r
                  При переносе начала координат на расстояние a новые радиус-векторы
             r                                r            r r r
            r точек тела связаны со старыми r посредством
                                                r     r
                                                           r = rr ′ + a . Поэтому
                                                   [ ] [
                                                   r         r
                                                                    ] [ ]
                                                                        r
                                             K = ∑ r ⋅ f = ∑ r ′⋅ f + ∑ a ⋅ f
                   или                              r r      r r
                                                             [ ]
                                                    K = K ′+ a ⋅F                  (24)



                                                                                     229

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com