Механика. Щербаченко Л.А. - 227 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

227
В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не
совпадает по своему направлению с вектором Ω, и лишь при вращении тела
вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и Ω имеют одинаковое
направление.
Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подверженного
действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса
равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным,
так что речь идет о свободном вращении тела
Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно
вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие М = const
приводит просто к Ω = const. Это значит, что общим случаем свободного
вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг
постоянной оси.
Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже М = IΩ, причем вектор Ω
перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому сво-
бодное вращение ротатора есть равномерное
вращение в одной плоскости вокруг направле-
ния, перпендикулярного к этой плоскости.
Закон сохранения момента достаточен и
для определения более сложного свободного
вращения симметрического волчка.
Воспользовавшись произвольностью
выбора направлений главных осей инерции
1
x ,
2
x (перпендикулярных к оси симметрии волчка
3
x
), выберем ось х
2
перпендикулярной к
плоскости, определяемой постоянным вектором М и мгновенным
положением оси
2
x .Тогда М
2
= 0, а из формул (16) видно, что и Ω
2
= 0.
Это значит, что направления М, Ω и оси волчка в каждый момент
времени лежат в одной плоскости (рис. 5). Но отсюда в свою очередь
следует, что скорости v = [Ωr] всех точек на оси волчка в каждый момент
времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось
волчка равномерно (см. ниже) вращается вокруг направления М, описывая
круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка).
Одновременно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг соб-
ственной оси.
Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через
заданную величину момента М и угол наклона θ оси волчка к направлению
М. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто
проекция Ω
3
вектора Ω на эту ось:
θcos
3
3
3
3
I
M
I
M
==Ω
(18)
Для определения же скорости прецессии Ω
пр
надо разложить вектор Ω
по правилу параллелограмма на составляющие вдоль
3
x
и вдоль М. Из них
Р
ис. 5
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                   В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не
            совпадает по своему направлению с вектором Ω, и лишь при вращении тела
            вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и Ω имеют одинаковое
            направление.
                   Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подверженного
            действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса
            равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным,
            так что речь идет о свободном вращении тела
                   Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно
            вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие М = const
            приводит просто к Ω = const. Это значит, что общим случаем свободного
            вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг
            постоянной оси.
                   Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже М = IΩ, причем вектор Ω
            перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому сво-
            бодное вращение ротатора есть равномерное
            вращение в одной плоскости вокруг направле-
            ния, перпендикулярного к этой плоскости.
                   Закон сохранения момента достаточен и
            для определения более сложного свободного
            вращения симметрического волчка.
                   Воспользовавшись      произвольностью
            выбора направлений главных осей инерции x1 ,                                Р
            x 2 (перпендикулярных к оси симметрии волчка                          ис. 5
            x3 ), выберем ось х2 перпендикулярной к
            плоскости, определяемой постоянным вектором М и мгновенным
            положением оси x 2 .Тогда М2 = 0, а из формул (16) видно, что и Ω2 = 0.
                   Это значит, что направления М, Ω и оси волчка в каждый момент
            времени лежат в одной плоскости (рис. 5). Но отсюда в свою очередь
            следует, что скорости v = [Ωr] всех точек на оси волчка в каждый момент
            времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось
            волчка равномерно (см. ниже) вращается вокруг направления М, описывая
            круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка).
            Одновременно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг соб-
            ственной оси.
                   Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через
            заданную величину момента М и угол наклона θ оси волчка к направлению
            М. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто
            проекция Ω3 вектора Ω на эту ось:
                                             M3 M
                                      Ω3 =      = cosθ                 (18)
                                             I3  I3
                 Для определения же скорости прецессии Ωпр надо разложить вектор Ω
            по правилу параллелограмма на составляющие вдоль x3 и вдоль М. Из них

                                                                                      227

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы