Механика. Щербаченко Л.А. - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

228
первая не приводит ни к какому перемещению самой оси волчка, а потому
вторая и дает искомую угловую скорость прецессии, Из построения на рис. 5
ясно, что
1
sin
Ω
=
Ω
θ
пр
, а поскольку θsin
11
1
1
I
M
I
M
==Ω , то получаем:
1
I
M
пр
=Ω (19)
Уравнения движения твердого тела.
Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями
свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть
независимых уравнений. Их можно представить в, виде, определяющем
производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела.
Первое из этих уравнений получается просто путем суммирования
уравнений
fp
r
&
=
для каждой из составляющих тело частиц, где р — импульс
частицы, а f — действующая на нее сила. Вводя полный импульс тела
VpP
r
r
µ=
∑
=
и полную действующую на него силу
Ff
r
r
=
∑
, получим:
F
dt
Pd
r
r
=
(20)
Хотя мы определили F как сумму всех сил f, действующих на каждую
из частиц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в F входят
лишь силы, действующие со стороны внешних источников. Все силы
взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются;
действительно, при отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой зам-
кнутой системы, должен сохраняться, т. е. должно быть F = 0.
Если U — потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то
сила F может быть определена путем дифференцирования ее по координатам
центра инерции тела:
R
U
F
∂
∂
−=
(21)
Действительно, при поступательном перемещении тела на
Rδ
настолько же меняются и радиус-векторы
r
r
каждой точки тела, а потому
изменение потенциальной энергии равно:
RFfR
r
U
Rr
r
U
U
r
r
r
r
r
r
r
δδδδδ −=
∑
−=
∑
∂
∂
=
∑
∂
∂
=
Отметим в этой связи, что уравнение (20) может быть получено и как
уравнение Лагранжа по отношению к координатам центра инерции:
R
L
V
L
dt
d
rr
∂
∂
=
∂
∂
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            первая не приводит ни к какому перемещению самой оси волчка, а потому
            вторая и дает искомую угловую скорость прецессии, Из построения на рис. 5
                                                        M   M
            ясно, что Ω пр sin θ = Ω1 , а поскольку Ω1 = 1 = sin θ , то получаем:
                                                        I1  I1
                                                         M
                                                Ω пр =              (19)
                                                         I1
                                Уравнения движения твердого тела.
                  Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями
            свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть
            независимых уравнений. Их можно представить в, виде, определяющем
            производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела.
                  Первое из этих уравнений получается просто путем суммирования
                        r r
            уравнений p& = f для каждой из составляющих тело частиц, где р — импульс
            частицы, а f — действующая на нее сила. Вводя полный импульс тела
                                            r           r
                                           P = ∑ p = µV
                                                       r r
                   и полную действующую на него силу ∑ f = F , получим:
                                              r
                                            dP r
                                                = F (20)
                                            dt
                  Хотя мы определили F как сумму всех сил f, действующих на каждую
            из частиц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в F входят
            лишь силы, действующие со стороны внешних источников. Все силы
            взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются;
            действительно, при отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой зам-
            кнутой системы, должен сохраняться, т. е. должно быть F = 0.
                  Если U — потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то
            сила F может быть определена путем дифференцирования ее по координатам
            центра инерции тела:
                                                           ∂U
                                                   F =−          (21)
                                                           ∂R
                 Действительно, при поступательном перемещении тела на δR
                                                   r
            настолько же меняются и радиус-векторы r каждой точки тела, а потому
            изменение потенциальной энергии равно:
                         ∂U r r ∂U           r     r r
                   δU = ∑ r δr =δR∑ r = −δR∑ f = − FδR
                         ∂r        ∂r
                 Отметим в этой связи, что уравнение (20) может быть получено и как
            уравнение Лагранжа по отношению к координатам центра инерции:
                                                     d ∂L ∂L
                                                         r= r
                                                     dt ∂V ∂R
                                                                                    228

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы