Механика. Щербаченко Л.А. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

226
Так, для момента инерции относительно оси x получаем:
(
)
( )
( )
22
2222
22
1
2
1
cbIabc
dddcbabc
dzdydxzyI
+
′
=
=⋅⋅+⋅=
=⋅⋅+=
∫∫∫
∫∫∫
ζηξζηρ
ρ
где
I
′
– момент инерции шара единичного радиуса.
Учитывая, что объем эллипсоида равен
3
4 abc
π
, получим
окончательно моменты инерции:
(
)
22
1
5
cb
m
I +=
,
(
)
22
2
ca
m
I +=
,
(
)
22
3
ba
m
I +=
.
Ответ:
(
)
22
1
5
cb
m
I +=
,
(
)
22
2
ca
m
I +=
,
(
)
22
3
ba
m
I +=
.
Момент импульса твердого тела.
Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора
точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела
наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной
системы координат, т. е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под
М момент, определенный именно таким образом.
При выборе начала координат в центре инерции тела его момент М
совпадает с “собственным моментом”, связанным лишь с движением точек
тела относительно центра инерции. Другими словами, в определении
[
]
∑
⋅
=
vrmM
r
r
надо заменить v на [Ωr]:
[
]
[
]
(
)
{
}
∑
∑
Ω⋅−Ω=⋅Ω⋅=
r
r
r
r
r
r
r
rrrmrrmM
2
или в тензорных обозначениях:
{
}
{
}
∑
∑
−Ω=Ω−Ω=
kiikikkkiii
i
xxxmxxxmM δ
22
Наконец, учитывая определение (4) тензора инерции, получаем
окончательно:
k
ik
i
I
M
Ω
=
(15)
Если оси
1
x ,
2
x ,
3
x направлены вдоль главных осей инерции тела, то
эта формула дает:
1
1
1
Ω
=
I
M
,
2
2
2
Ω
=
I
M
,
3
3
Ω
=
I
M
(16)
В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента
инерции совпадают, имеем просто:
Ω
=
I
M
(17)
т. е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет
одинаковое с ним направление.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                   Так, для момента инерции относительно оси x получаем:
                              (           )
                   I 1 = ρ ∫∫∫ y 2 + z 2 dx ⋅ dy ⋅ dz =
                                  (               )
                   = ρ ⋅ abc ∫∫∫ b 2η 2 + c 2ζ 2 dξ ⋅ dη ⋅ dζ =
                          1
                              (
                   = abc I ′ b 2 + c 2
                          2
                                          )
                   где I ′ – момент инерции шара единичного радиуса.
                                                                                                      4πabc
                   Учитывая, что объем                  эллипсоида                     равен                ,   получим
                                                                                                        3
            окончательно моменты инерции:
                      m 2
                   I1 =
                      5
                          (
                         b + c2 , )   I2 =
                                            m 2
                                             5
                                                  (
                                                a + c2 ,        )
                                                             I3 =
                                                                  m 2
                                                                  5
                                                                    a + b2 .       (         )
                              m
                                      (       )  m
                                                        (         m
                                                                         )
                   Ответ: I1 = b 2 + c 2 , I 2 = a 2 + c 2 , I 3 = a 2 + b 2 .
                               5                 5                5
                                                                                   (         )

                                   Момент импульса твердого тела.
                 Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора
            точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела
            наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной
            системы координат, т. е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под
            М момент, определенный именно таким образом.
                 При выборе начала координат в центре инерции тела его момент М
            совпадает с “собственным моментом”, связанным лишь с движением точек
            тела относительно центра инерции. Другими словами, в определении
                      r r
            M = ∑ m[r ⋅ v ]надо заменить v на [Ωr]:
                                         r r r
                                                  [ [      r rr r
                                                                    ]]
                                M = ∑ m r ⋅ Ω ⋅ r = ∑ m r 2Ω − r r ⋅ Ω       {           (       )}
              или в тензорных обозначениях:

                                  {                         }
                   M i = ∑ m xi2 Ω i − xi xk Ω k =Ω k ∑ m xi2δ ik − xi xk     {                   }
                 Наконец, учитывая определение                               (4)       тензора инерции, получаем
            окончательно:
                   M i = I ik Ω k                                                  (15)
                  Если оси x1 , x 2 , x 3 направлены вдоль главных осей инерции тела, то
            эта формула дает:
                  M 1 = I1Ω1 , M 2 = I 2Ω 2 , M 3 = I 3Ω3                          (16)
                  В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента
            инерции совпадают, имеем просто:
                  M = IΩ                                                           (17)
                  т. е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет
            одинаковое с ним направление.


                                                                                                                    226

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы