Механика. Щербаченко Л.А. - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

225
Выделим малый элемент объёма
dzdydxdV
⋅
⋅
=
. Его момент инерции
относительно данной оси равен:
(
)
( )
( ) ( ) ( )
( )
22
3333
2
0
2
0
2
0
3
2
0
2
0
3
22
22
1
12
1
12
1
2224224
8
33
8
cbma
abc
bccb
m
abccb
abc
m
zx
y
y
x
abc
m
dzdydxydxdyx
abc
m
I
yxdVdI
ab
c
c
b
+=
+
=
+=
=
⋅
+⋅
=+=
⇒+⋅⋅=
∫∫∫
ρ
Аналогично вычисляются и моменты инерции относительно осей 2 и 3.
Ответ:
(
)
22
1
12
cbI +=
µ
,
(
)
22
2
acI +=
µ
,
(
)
22
3
12
baI +=
µ
.
(оси
1
x
,
2
x
,
3
x
параллельны ребрам a, b, c),
5) Круговой конус с высотой h и радиусом основания R.
Решение:
Вычисляем сначала тензор
ik
I
′
по отношению к
осям с началом в вершине конуса (рис. 4).
Вычисление легко производится в цилиндрических
координатах и дает:
+=
′
=
′
2
2
21
45
3
h
R
mII
,
2
3
10
3
mRI =
′
.
Центр тяжести находится, как показывает
простое вычисление, на оси конуса на расстоянии
ha
4
3
=
от вершины. По формуле (14) находим окон-
чательно:
+=−
′
==
420
3
2
22
121
h
RmmaIII
,
2
33
10
3
mRII =
′
=
.
Ответ:
+=−
′
==
420
3
2
22
121
h
RmmaIII
,
2
33
10
3
mRII =
′
=
.
6) Трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с.
Решение. Центр инерции совпадает с центром эллипсоида, а главные
оси инерции – с его осями. Интегрирование по объему эллипсоида может
быть сведено к интегрированию по объему сферы путем преобразования ко-
ординат
ξ
a
x
=
,
η
b
y
=
,
ζ
cz
=
, превращающего уравнение поверхности
эллипсоида:
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
в уравнение поверхности единичной сферы:
1
222
=++ ζηξ
Рис. 4
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                 Выделим малый элемент объёма dV = dx ⋅ dy ⋅ dz . Его момент инерции
            относительно данной оси равен:
                                       (
                     dI1 = ρ ⋅ dV ⋅ x 2 + y 2 ⇒ )
                                                                 3 b2                      c
                                                                                                     a
                                                                                             b 
                                       (                  )
                                                                               c        3   2
                                                                   ⋅ ( y ) 02 +   ⋅ ( x ) 02 ( z ) 02 =
                           m                                8m x                      y
                          abc ∫ ∫ ∫
                     I=                x dxdy + y dydx dz =
                                        2        2

                                                            abc   3  0          3 0          
                                                                                                   
                         8m  b 3 c c 3 b  a 1  cb 3 + c 3b 
                     =           +       = m
                         abc  24 2 24 2  2 12  abc 
                                                                    1
                                                              a = m b 2 + c 2
                                                                   12
                                                                                     (      )
                     Аналогично вычисляются и моменты инерции относительно осей 2 и 3.
                     Ответ: I 1 =
                                     µ 2
                                    12
                                            (
                                        b + c2 , I2 = )
                                                      µ 2
                                                      12
                                                         c + a2 , I3 =(µ 2
                                                                       12
                                                                                 )
                                                                          a + b2 .              (       )
                     (оси x1 , x 2 , x3 параллельны ребрам a, b, c),

                   5) Круговой конус с высотой h и радиусом основания R.
                    Решение:
                                                                      ′ по отношению к
                                           Вычисляем сначала тензор I ik
                                     осям с началом в вершине конуса (рис. 4).
                                     Вычисление легко производится в цилиндрических
                                     координатах и дает:
                                                                        3  R2                                3
                                                               ′     ′
                                                              I1 = I 2 = m   + h 2  ,            I 3′ =      mR 2 .
                                                                        5  4                                10
                                                     Центр тяжести находится, как показывает
                                                простое вычисление, на оси конуса на расстоянии
                             Рис. 4                3
                                                a = h от вершины. По формуле (14) находим окон-
                                                   4
            чательно:
                                       3  2 h2                   3
             I1 = I 2 = I1′ − ma 2 =     m R +  , I 3 = I 3′ = mR 2 .
                                       20      4                10
                                                          3  2 h2                   3
                     Ответ: I1 = I 2 = I1′ − ma 2 =         m R +  , I 3 = I 3′ = mR 2 .
                                                          20      4                10

                6) Трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с.
                 Решение. Центр инерции совпадает с центром эллипсоида, а главные
            оси инерции – с его осями. Интегрирование по объему эллипсоида может
            быть сведено к интегрированию по объему сферы путем преобразования ко-
            ординат x = aξ , y = bη , z = cζ , превращающего уравнение поверхности
            эллипсоида:
                                             x2 y2 z2
                                                +    +     =1
                                            a 2 b2 c2
                 в уравнение поверхности единичной сферы:
                                            ξ 2 +η 2 + ζ 2 = 1
                                                                                                                          225

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы