Механика. Щербаченко Л.А. - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

223
A
I – момент инерции стержня относительно оси А,
O
I – момент
инерции стержня относительно оси О.
2
kmlI
A
= .
422
2
2
2
kmllm
kI
o
=
⋅=
По теореме Гюйгенса-Штейнера:
⇒+=
4
2
l
mII
oA
3
1
13
14
4
1
22
=⇒=
+=
+
=
kk
kk
ml
k
kml
Таким образом,
2
3
1
mlI
A
=
и
2
21
12
1
mlII ==
. Стрежень очень тонкий, а
значит 0
3
=I .
Ответ:
2
21
12
1
mlII ==
, 0
3
=I (толщиной стержня пренебрегаем).
2) Шар радиуса R и массы m, а также тонкая сфера с теми же
параметрами.
Решение:
Из соображений симметрии
321
III == .
Вычислять следует сумму
∫
=++ dVrIII
2
321
2ρ
).
В сферической системе координат
(
)
ϕ
θ
rddrdrdV
⋅
⋅
⋅
=
sin :
Отсюда:
2
5
3
2
00
22
321
5
2
22
5
4
3
3
2
sin
3
2
mR
R
R
m
dddrrrIIII
R
=⋅−=⋅⋅⋅⋅====
∫∫∫
−
π
π
ϕθθ
ρ
ππ
π
Рассмотрим теперь тонкую сферу. Пусть она имеет бесконечно малую
толщину d. Тогда сферу можно представить как совокупность двух шаров:
первый имеет радиус R и массу m, а второй – радиус dR
−
и массу
(
)
mm
∆
−
−
,
причём Rd
<<
и mm
<<
∆
в силу того, что сфера тонкая:
( )( )
(
)
2
2
5
2
dRmmmRI
сф
−∆−−=
⇒===∆
R
d
m
R
m
dRdRm 3
4
3
44
3
22
π
πρπ
( )
mRd
R
d
mR
R
d
R
d
mRdR
R
d
mmmRI
сф
2
5
5
2
1
3
11
5
2
3
5
2
2
2
2
2
2
==
−
−−=
−
−−=
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                   I A – момент инерции стержня относительно оси А, I O                              – момент
            инерции стержня относительно оси О.
                 I A = kml 2 .
                                     2
                             m l  kml 2
                   Io = 2 ⋅ k   =
                             2 2   4
                   По теореме Гюйгенса-Штейнера:
                               l2
                   I A = Io + m   ⇒
                               4
                           k +1 2
                   kml 2 =       ml
                             4
                   4k = k + 1
                                 1
                   3k = 1 ⇒ k =
                                 3
                                                  1                    1
                   Таким образом, I A = ml 2 и I 1 = I 2 =               ml 2 . Стрежень очень тонкий, а
                                                  3                   12
            значит I 3 = 0 .
                                           1
                   Ответ: I 1 = I 2 =        ml 2 , I 3 = 0 (толщиной стержня пренебрегаем).
                                          12

                2) Шар радиуса R и массы m, а также тонкая сфера с теми же
            параметрами.
                 Решение:
                 Из соображений симметрии I 1 = I 2 = I 3 .
                 Вычислять следует сумму I 1 + I 2 + I 3 = 2ρ ∫ r 2 dV ).
                 В сферической системе координат dV = dr ⋅ (r sin θ ⋅ dϕ ) ⋅ rdθ :
                 Отсюда:
                                                            π        2π
                                          2ρ 2 2
                                             R
                                                                                   2 3m R 5         2
                   I1 = I 2 = I 3 = I =      ∫
                                           3 0
                                               r ⋅ r dr ⋅  ∫
                                                          −π
                                                             sin θ ⋅ dθ ⋅ ∫
                                                                          0
                                                                            dϕ = −
                                                                                   3 4πR 5
                                                                                        3
                                                                                            2 ⋅ 2π = mR 2
                                                                                                    5
                 Рассмотрим теперь тонкую сферу. Пусть она имеет бесконечно малую
            толщину d. Тогда сферу можно представить как совокупность двух шаров:
            первый имеет радиус R и массу m, а второй – радиус R − d и массу − (m − ∆m) ,
            причём d << R и ∆m << m в силу того, что сфера тонкая:
                        2
                   I сф =
                        5
                             (
                          mR 2 − (m − ∆m )(R − d )
                                                   2
                                                        )
                                            3m       d
                   ∆m = 4πR 2 dρ = 4πR 2 d       = 3m ⇒
                                           4πR 3
                                                     R
                            2                d        2
                                                                      3d  d  2  2
                              mR 2 −  m − 3m (R − d )  = mR 2 1 − 1 −
                                                              2                                   5d
                   I сф =                                                        1 −   = mR 2    = 2mRd
                            5                R           5              R     R   5      R
                                                                                         




                                                                                                            223

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы