Механика. Щербаченко Л.А. - 224 стр.

                  Учитывая, что ∆m есть масса сферы, получаем окончательный
            результат:
                         ∆mR           2         2
                   I сф = 2    Rd = ∆mR 2 = mсф R 2
                          3d           3         3
                                           2             2
                   Ответ: I 1 = I 2 = I 3 = mR 2 , I сф = mсф R 2 .
                                           5             3

                 3) Круговой сплошной цилиндр радиуса R и высотой l (относительно
            оси, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно ему). Рассмотреть
            также случай полого цилиндра.
                  Решение:
                  Направляя ось OZ вдоль оси цилиндра и вводя, таким образом,
            цилиндрическую систему координат, выделим малый элемент объёма
            dV = dz ⋅ rdϕ ⋅ dr . Его момент инерции относительно оси OZ равен:

                   dI1 = dm ⋅ r ′2 = ρ ⋅ dV ⋅ r ′2 = dm ⋅ (z 2 + r 2 sin 2 ϕ ) =        rdr ⋅ dz ⋅ dϕ (z 2 + r 2 sin 2 ϕ ) =
                                                                                    m
                                                                                   πR l
                                                                                     2



                   =
                        m
                       πR l
                         2
                            (rdr ⋅ z 2dz ⋅ dϕ + r 3dr ⋅ dz ⋅ sin 2 ϕ ⋅ dϕ ) ⇒

                  Интегрируя это выражение по всему объёму, получаем конечный
            результат:
                                    R
                                              l
                                                              R                         
                         2m   r 2   z 3  2         r4         l 2π
                                                                          1 − cos 2ϕ    
                   I1 = 2    ⋅   ⋅ (ϕ ) 0 +   ⋅ ( z ) 02 ⋅ ∫
                                                    2π
                                                                                     dϕ  =
                        πR l   2  0  3  0          4 o           0       2       
                                                                                       
                       2m  R l
                              2 3
                                         R l  2m  πR l πR l  1 2 1
                                           4                    2 3       4
                   = 2            2π +     ⋅ π  = 2           +        = ml + mR 2 ⇒
                      πR l  2 24        4 2  πR l  24                8  12            4
                                             1  2 l2 
                   Таким образом, I 1 = I 2 = m R +  .
                                             4      3
                   Найдём теперь I 3 :
                   dI 3 = dm ⋅ r 2 = ρ ⋅ dr ⋅ rdϕ ⋅ r 2 dz = r 3 dr ⋅ dϕ ⋅ ρ ⋅ dz ⇒
                                          R
                           m r4                            l
                                                                2m R 4
                                         ⋅ (ϕ ) 0 ⋅ ( z ) 02 = 2
                                                  2π                      l 1
                   I 3 = 2 2                                         2 ⋅ = mR 2
                          πR l  4       0                     R l 4     2 2
                 Если цилиндр полый и имеет внутренний и внешний радиусы R1 и R2
            соответственно, то его момент инерции равен:

                   I3 = 2
                               m          r4 
                                                 R2
                                                               l
                                           ⋅ (ϕ ) 0 ⋅ ( z ) 0 = 2
                                                     2π                   m         (R24 − R 41 )
                                                                                                  2π ⋅ = m(R22 + R 21 )
                                                                                                      l 1
                          π (R2 − R 1 )l  4  R
                                    2 
                                                                     π (R2 − R 1 )l
                                                               2
                              2                                          2     2
                                                                                         4            2 2
                                                  1


                                          m  2 l2          m
                   Ответ: I 1 = I 2 =        R +  , I 3 = R 2 . ( x3 – ось цилиндра).
                                          4      3         2

                  4) Прямоугольный параллелепипед с длинами ребер а, b, c.
                   Решение:
                   Рассчитаем момент инерции относительно оси 1.

                                                                                                                               224

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com