Механика. Щербаченко Л.А. - 40 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

40
В первой и третьей областях частица не может находиться т.к. её энергия
мала для этого.
Вточка устойчивого равновесия
D – точка неустойчивого равновесия
Законы Кеплера
В результате длительной обработки многолетних наблюдений датского
астронома Тихо Браге (1546-1601) немецкий ученый Кеплер эмпирически
установил три закона движений планет. Эти законы формулируются
следующие образом:
1) каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого
находится Солнце;
2) радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади;
3)квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей
эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.
Первые два закона были опубликованы Кеплером в 1609 г., последний - в
1619 г. Законы Кеплера естественным путем привели Ньютона к открытию
закона всемирного тяготения.
Первый закон Кеплера:
Чтобы доказать этот закон нужно найти уравнение орбиты вращающейся
планеты. Для этого удобно использовать полярную систему координат,
плоскость которой совпадает с плоскостью траектории планеты.
Пусть
r
rdrdrd )()(
r
r
r
+
=
ϕ
, где
ϕ
)( rd
r
перпендикулярно радиус вектору, а
r
rd )(
r
-
параллельно. Таким образом первое перемещение обусловлено изменением
угла поворота, а второе изменением длины радиус вектора. Тогда
r
ee
r
,
ϕ
единичные векторы для
ϕ
)( rd
r
и
r
rd )(
r
соответственно.
Тогда:
222222
/
//
)()(
rrvvv
vevev
dtdr
edtrdedtrd
drerderd
dredrerd
r
rrr
r
rr
+
=+=
+==+=
+=
+
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
rrrrrr
rrr
r
r
r
Т.к.
)1(
)()(
2
2
constmrL
eemrvevemrevmrL
rrrr
=
=
×
=+×=×=
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
r
r
r
r
r
r
r
r
Запишем закон сохранения энергии:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
            В первой и третьей областях частица не может находиться т.к. её энергия
            мала для этого.

            В – точка устойчивого равновесия
            D – точка неустойчивого равновесия


                                                        Законы Кеплера

            В результате длительной обработки многолетних наблюдений датского
            астронома Тихо Браге (1546-1601) немецкий ученый Кеплер эмпирически
            установил три закона движений планет. Эти законы формулируются
            следующие образом:

            1) каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого
            находится Солнце;

            2) радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади;

            3)квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей
            эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

            Первые два закона были опубликованы Кеплером в 1609 г., последний - в
            1619 г. Законы Кеплера естественным путем привели Ньютона к открытию
            закона всемирного тяготения.

            Первый закон Кеплера:

            Чтобы доказать этот закон нужно найти уравнение орбиты вращающейся
            планеты. Для этого удобно использовать полярную систему координат,
            плоскость которой совпадает с плоскостью траектории планеты.
                   r     r         r             r                                        r
            Пусть dr = (dr ) ϕ + (dr ) r , где (dr )ϕ перпендикулярно радиус вектору, а (dr ) r -
            параллельно. Таким образом первое перемещение обусловлено изменением
                                                                                          r r
            угла поворота, а второе изменением длины радиус вектора. Тогда eϕ , er
                                             r       r
            единичные векторы для (dr )ϕ и (dr ) r соответственно.
                   r r             r
                  dr = eϕ (dr )ϕ + er (dr ) r
                   r r           r
                  dr = eϕ rdϕ + er dr
            Тогда: r        r             r            r r         r
                  dr / dt = eϕ rdϕ / dt + er dr / dt = v = eϕ vϕ + er vr ⇒
                      v 2 = vϕ2 + vr2 = r 2ϕ ′2 + r ′2
                   r r        r r            r         r          r r
                   L = r × mv = er r × m(eϕ vϕ + ervr ) = mr 2ϕ ′(er × eϕ )
            Т.к.
                   L = mr 2ϕ ′ = const          (1)
            Запишем закон сохранения энергии:

                                                                                              40

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com