Механика. Щербаченко Л.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

41
)2()(
2
2
222
2
const
r
Mm
Grr
m
r
Mm
G
mv
=−
′
+
′
=− ϕ
Решая систему из двух последних уравнений с двумя неизвестными )(),( ttr
ϕ
найдем уравнение траектории.
Из (1):
2
mr
L
=
′
ϕ . Введем также обозначение:
r/1
=
ψ
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ψϕ
ϕ
ϕ d
d
m
L
mr
L
dt
d
dt
d
d
d
dt
d
d
dr
dt
dr
−=×−===
22
1
)
1
(
Следовательно из (2) получаем:
const
L
Mm
G
d
d
=−+ ψψ
ϕ
ψ
2
2
22
2
)(
Продифференцируем это уравнение:
2
2
2
2
,
L
GMm
CC
d
d
==+ψ
ϕ
ψ
Тогда:
( )
⇒=−
+
+=
=+×++=++=
Cp
C
BA
C
BACBAC
/1)),cos(1(
sinsincoscossincos
0
22
00
22
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ψ
)3(
)cos(1
1
0
ϕϕψ −+
==
e
p
r , где
C
BA
e
M
Gm
L
Cp
22
2
2
,/1
+
===
Уравнение (3) является уравнением эллипса в полярных координатах (е>1).
Если же е<=1 тогда траектория примет вид параболы или гиперболы.
Из (3) видно, что:
e
p
r
e
p
r
−
=
+
=
1
,
1
maxmin
Запишем теперь ЗСЭ для этих двух случаев:
2/1
232
2
0
0
max
2
max
2
min
2
min
2
2
1
1
2
1
2
0
+=⇒=−
=−
⇒=
MmG
LE
eE
r
mM
G
rm
L
r
mM
G
rm
L
v
r
Второй закон Кеплера:
t
m
L
Sdt
m
L
Sddt
m
L
Sd
dSdhrdrrrdrrrdrdr
dt
m
L
rdrvmrL
∆=∆⇒=⇒=
⇒⋅=⋅=⋅⋅==×
=×⇒×=
∫∫
2
2
2
2)cos(),cos(
r
r
r
r
r
r
rrrrrr
r
rrrr
r
α
Таким образом за равные промежутки времени радиус-вектор планеты
описывает равные площади.
Третий закон Кеплера:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
             mv 2    Mm m 2                    Mm
                  −G    = (r ′ + r 2ϕ ′2 ) − G    = const                  (2)
              2       r  2                      r
            Решая систему из двух последних уравнений с двумя неизвестными r (t ), ϕ (t )
            найдем уравнение траектории.
                        L
            Из (1): ϕ ′ =   . Введем также обозначение: ψ = 1 / r
                       mr 2
             dr dr dϕ   d 1 dϕ        1 dψ   L     L dψ
               =      =     ( )   =− 2     × 2 =−
             dt dϕ dt dϕ ψ dt        ψ dt mr      m dϕ
            Следовательно из (2) получаем:
               dψ 2        2m 2 M
             (    ) +ψ − G
                      2
                                  ψ = const
               dϕ            L2
            Продифференцируем это уравнение:
             d 2ψ              GMm 2
                  +ψ = C , C =
             dϕ 2               L2
                      ψ = C + A cos ϕ + B sin ϕ = C + A2 + B 2 × (cos ϕ0 cos ϕ + sin ϕ 0 sin ϕ ) =
            Тогда:                 A2 + B 2
                      = C (1 +              cos(ϕ − ϕ 0 )), p = 1 / C ⇒
                                     C
            1              p                                               L2           A2 + B 2
              =r=                                 (3) , где p = 1 / C =          ,e =
            ψ     1 + e cos(ϕ − ϕ0 )                                      Gm 2 M          C
            Уравнение (3) является уравнением эллипса в полярных координатах (е>1).
            Если же е<=1 тогда траектория примет вид параболы или гиперболы.
                                               p             p
            Из (3) видно, что: rmin =              , rmax =
                                              1+ e          1− e
            Запишем теперь ЗСЭ для этих двух случаев:
                                    2                          2                                          1/ 2
                      L2  1             mM     L2  1             mM                    2 E L2   
             vr = 0 ⇒              − G      =              − G      = E 0 ⇒ e = 1 + 2 03 2   
                      2m  rmin         rmin   2m  rmax         rmax               G m M        

            Второй закон Кеплера:
                             r
             r r      r     r r L
             L = r × mv ⇒ r × dr = dt
                                     m
             r r        r r     r r
             r × dr = dr r cos(r , dr ) = r ⋅ dr ⋅ cos(α ) = r ⋅ dh = 2 ⋅ dS ⇒
                    r                  r                  r
              r     L         r        L            r    L
             dS =     dt ⇒ ∫ dS = ∫      dt ⇒ ∆S =          ∆t
                   2m                2m                 2m
            Таким образом за равные промежутки времени радиус-вектор планеты
            описывает равные площади.


            Третий закон Кеплера:




                                                                                                                 41

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы