Механика. Щербаченко Л.А. - 83 стр.

                          m                rdr                  ma           rdr
                   t=         ∫                             =      ∫
                         2E                α     M2             α    a 2 e 2 − (r − a )
                                                                                        2
                                  − r2 +     r−
                                           E    2m E
                   помощью естественной подстановки
                   r − a = − ae cos ξ
                   этот интеграл приводится к виду
                         ma 3                          ma 3
                   е=
                          α     ∫ (1 − e cos ξ )dξ =    α
                                                            (ξ − e sin ξ ) + const
                 Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить const в нуль,
            получим окончательно следующее параметрическое представление
            зависимости r от t:
                                                 ma 3
                   r = a(1 − e cos ξ ) , t =          (ξ − e sin ξ )                        (43)
                                                  α
                     (в момент t = 0 частица находится в перигелии). Через тот же
            параметр ξ , можно выразить и декартовы координаты частицы x = r cos ϕ ,
            y = r sin ϕ (оси х и у направлены соответственно по большой и малой
            полуосям эллипса). Из (38) и (43) имеем
                                   (       )
                   ex = p − r = a 1 − e 2 − a (1 − e cos ξ ) = ae(cos ξ − e )
                  а у найдем, как r 2 − x 2 . Окончательно:
                  x = a (cos ξ − e ) , y = a 1 − e 2 sin ξ                  (44)
                  Полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра ξ
            от нуля до 2π .
                  Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических
            траекторий приводят к результату
                                           ma 3
                   r = a(e ⋅ chξ − 1) t =       (e ⋅ shξ − ξ )
                                            α                                               (45)
                   x = a(e − chξ )
                                      y = a e 2 − 1 ⋅ shξ
                   где параметр ξ пробегает значения от − ∞ до + ∞ .
                   Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором
                        α
                   U=                                                                       (46)
                        r
                                         ( α > 0 ). В этом случае эффективная потенциальная
                                   энергия
                                                     α   M2
                                            U эф =     +
                                                     r 2mr 2
                                монотонно убывает от + ∞ до нуля при изменении
                          r от нуля до + ∞ . Энергия частицы может быть только
               Рис. 8     положительной и движение всегда инфинитно. Все
            вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным
            выше. Траектория является гиперболой
                    p
                      = −1 + e cos ϕ                                                        (47)
                    r

                                                                                              83

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com