Механика. Щербаченко Л.А. - 81 стр.

                                           Mdt                                          dt
                   ϕ = −∫                                                   = −∫                         ⇒
                                         2
                                                    2 EM                                   1
                                                                                                     2
                                2    1                    2                      2
                                                                                   e
                                                                 + 1 
                                             1
                             − M  t −  − 2                                       −  t − 
                                     p   p        mα
                                                         2
                                                                                p 2
                                                                                              p
                                  
                                                        p   1
                                                       d t − 
                          p        dt                   e   e           p   1
                          e∫
                   ϕ =−                         = −∫              = arccos t −  + const
                                  p     1
                                           2
                                                          p   1         e2  e
                               1−  t −               1−  t − 
                                  e     e               e   e
                              p−r
                   ϕ = arccos       + const
                              er 
                Выбирая начало отсчета угла ϕ так, чтобы const = 0 , перепишем
            формулу для траектории в виде:
                            p−r
                   cos ϕ =
                              er
                              p
                   e cos ϕ = − 1 ⇒
                              r
                   p
                      = 1 + e cos ϕ
                   r
                                                                                                             (38
            )
                 Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале
            координат. р и е – так называемые параметр и эксцентриситет
            орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета ϕ заключается, как
            видно из (38), в том, что точка с ϕ = 0 является ближайшей к центру
            (так называемый перигелий орбиты).
                 В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по за-
            кону (34), орбита каждой из частиц тоже представляет собой
            коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции.
                                              Из (37) видно, что при E < 0
                                        эксцентриситет       e <1,   т.е.    орбита
                                        является эллипсом (рис. 6) и движение
                                        финитно в соответствии со сказанным в
                                        начале параграфа. Согласно известным
                                        формулам       аналитической      геометрии
                                        большая и малая полуоси эллипса равны:
                                                                        p       α       p        M
                                                                 a=          =    , b=        =              (39)
                                                                      1− e 2
                                                                               2E      1− e 2
                                                                                                2m E
                        Рис. 6
                                              Наименьшее допустимое значение
            энергии совпадает с (36), при этом e = 0 , т.е. эллипс обращается в
            окружность. Отметим, что большая полуось эллипса зависит только от
            энергии (но не от момента) частицы. Наименьшее и наибольшее
            расстояния до центра поля (фокуса эллипса) равны:


                                                                                                                81

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com