Механика. Щербаченко Л.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

82
( )
( )
ea
e
p
r
ea
e
p
r
+=
−
=
−=
+
=
1
1
1
1
max
min
(40)
Эти выражения можно было бы, конечно, получить и
непосредственно как корни уравнения
(
)
ErU
эф
= с учётом (37).
Время обращения по эллиптической орбите, т.е. период движения Т,
удобно определить с помощью закона сохранения момента в форме
“интеграла площадей” (25). Интегрируя это равенство по времени от нуля
до Т, получим:
MTmf
=
2
где – площадь орбиты. Площадь эллипса равна abf
π
=
, и с
помощью формул (39) находим:
⇒=⋅⋅
=
⋅
MT
Em
M
E
m
MTabm
2
2
2
2
α
π
2
3
2
3
3
~2
2
22
2
a
m
a
E
m
EmE
m
T
α
ππα
πα
===
(41)
Таким образом, квадрат периода должен быть пропорционален кубу
линейных размеров орбиты. Отметим также, что период зависит только
от энергии частицы.
При 0
≥
E движение инфинитно. Если 0
>
E , то эксцентриситет 1
>
e ,
т.е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля (фокус), как
показано на рис. 7. Расстояние перигелия от центра
( )
1
1
min
−=
+
= ea
e
p
r (42)
где
E
e
p
a
2
1
2
α
=
−
=
– “полуось” гиперболы.
В случае же Е = 0 эксцентриситет е = 1, т.е. частица
движется по параболе, с расстоянием перигелия
2
min
p
r = .
Этот случай осуществляется, если частица начинает свое
движение из состояния покоя на бесконечности.
Зависимость координат частицы от времени при
движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы (28).
Она может быть представлена в удобном параметрическом виде
следующим образом.
Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя а и е согласно
(37), (39), запишем интеграл (28), определяющий время, в виде:
Рис. 7
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                 = a(1 − e )
                             p
                   rmin =
                            1+ e
                                                                                            (40)
                                 = a (1 + e )
                             p
                   rmax   =
                            1− e
                  Эти выражения можно было бы, конечно, получить и
            непосредственно как корни уравнения U эф (r ) = E с учётом (37).
                  Время обращения по эллиптической орбите, т.е. период движения Т,
            удобно определить с помощью закона сохранения момента в форме
            “интеграла площадей” (25). Интегрируя это равенство по времени от нуля
            до Т, получим:
                   2mf = MT
                где – площадь орбиты. Площадь эллипса равна                         f = πab , и с
            помощью формул (39) находим:
                   2m ⋅ πab = MT
                          α      M
                   2mπ ⋅      ⋅      = MT ⇒
                          2E    2m E
                               2mπα
                                                                 3        3
                                                m                    m
                   T=                   = πα             = 2πa   2
                                                                       ~ a2                 (41)
                          2 E 2m E              2E
                                                     3
                                                                     α
                  Таким образом, квадрат периода должен быть пропорционален кубу
            линейных размеров орбиты. Отметим также, что период зависит только
            от энергии частицы.
                  При E ≥ 0 движение инфинитно. Если E > 0 , то эксцентриситет e > 1 ,
            т.е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля (фокус), как
            показано на рис. 7. Расстояние перигелия от центра
                                 = a (e − 1)
                             p
                   rmin =                                                                   (42)
                            1+ e
                   где
                            p    α
                   a=          =
                          e − 1 2E
                           2


                                            – “полуось” гиперболы.
                                            В случае же Е = 0 эксцентриситет е = 1, т.е. частица
                                                                                              p
                                      движется по параболе, с расстоянием перигелия rmin =      .
                                                                                              2
                             Этот случай осуществляется, если частица начинает свое
                             движение из состояния покоя на бесконечности.
                Рис. 7            Зависимость координат частицы от времени при
            движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы (28).
            Она может быть представлена в удобном параметрическом виде
            следующим образом.
                   Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя а и е согласно
            (37), (39), запишем интеграл (28), определяющий время, в виде:




                                                                                              82

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы