Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 112 стр.

функцией переменной х. Символически будем записывать y=f(x). При этом переменная x
называется независимой переменной или аргументом.
    Запись y=C, где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом
значении x одно и то же и равно C.
    Множество значений x, для которых можно определить значения функции y по
правилу f(x), называется областью определения функции.
    Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область
определения которой совпадает с множеством натуральных чисел.
    К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном
курсе математики:



   Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными
элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций
сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

    ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
    В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную
роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа
– производная, интеграл и др.
    Начнем с понятия предела числовой
последовательности.
    Число a называется пределом
последовательности x = {xn}, если для
произвольного заранее заданного сколь угодно                                      малого
положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N
выполняется неравенство |xn - a| < ε.
    Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к

a, и пишут           .
     Выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой
последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

    Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N
должны лежать в интервале (a – ε; a + ε). Этот интервал называется ε -окрестностью точки
а.
    Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn},
если для любой сколь угодно малой окрестности точки a найдется такой элемент
последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут
находиться внутри этой окрестности.
    Примеры.

   1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения



          Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем
      произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число
      N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - 1| < ε. Действительно, т.к.


                               ,