Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 114 стр.

f(x) при x → a.
     Введем строгое определение предела функции.
     Функция y=f(x) стремится к пределу b при x →
a, если для каждого положительного числа ε, как
бы мало оно не было, можно указать такое
положительное число δ, что при всех x ≠ a из
области определения функции, удовлетворяющих
неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x)
- b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a,

то пишут                  или f(x) → b при x → a.
     Проиллюстрируем это определение на графике
функции. Т.к. из неравенства |x - a| < δ должно
следовать неравенство |f(x) - b| < ε, т.е. при x ∈ (a -
δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) ∈
(b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем     рис. к примеру 1
подобрать такое число δ, что для всех точек x,
лежащих в δ – окрестности точки a,
соответствующие точки графика функции должны                                 Рис.к
лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной
прямыми y = b – ε и y = b + ε.
     Несложно заметить, что предел функции
должен обладать теми же свойствами, что и предел

числовой последовательности, а именно                 и
если при x → a функция имеет предел, то он                     2
единственный.
    Примеры.

   1. Найти предел функции y=2x+1 при x → 1.
      Используя график функции, можно увидеть,
      что если x → 1 с любой стороны, то
      соответствующие точки M(x, y) графика
      стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно

      предположить, что                  . Докажем
      это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам
      нужно, чтобы выполнялось неравенство
      |(2x+1) – 3|<ε или |2x–2| < ε, откуда |x– 1| < ε.
      Таким образом, если положить δ = ε/2, то
      при всех x, удовлетворяющих неравенству
      |x– 1|<δ, будет выполняться неравенство |y –
      3| < ε. По определению предела это и
      означает, что 3 есть предел функции y=2x+1
      при x → 1.
   2. Найти предел функции y=ex+1 при x → 0.

           Используя график заданной функции,

       несложно заметить,                .