Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 115 стр.

    ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
    В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ
    До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x
стремилась к определенному постоянному числу.
    Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого
заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим)
можно указать такое значение х=х0, начиная с которого, все последующие значения
переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.
    Например, пусть переменная х принимает значения x1= –1, x2=2, x3= –3, …, xn=(–1)nn,
… Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все
значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.
    Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие
значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.
    Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.
    Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для
произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число
M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется
неравенство |f(x) - b| < ε.

   Обозначают                .
   Примеры.



   1. Используя определение, доказать, что               .

           Нужно доказать, что при
        произвольном ε будет выполняться

        неравенство             , как только
        |x|>M, причем число М должно
        определяться выбором ε. Записанное
        неравенство эквивалентно

        следующему          , которое будет


        выполняться, если |x|>1/ε=M. Это и значит, что            (см. рис.).


   2. Несложно заметить, что               .

   3.           не существует.




               БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ