Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Пусть задана функция
y=f(x), определенная на некотором множестве D значений
аргумента.
Функция
y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует
положительное число
М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества,
выполняется неравенство
|f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x)
называется
неограниченной на множестве D.
Примеры.
1.
Функция y=sin x, определенная при -∞<x<+∞, является ограниченной, так как при
всех значениях
x |sin x|≤1 = M.
2.
Функция y=x
2
+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого
отрезка
|f(x)| ≤f(3) = 11.
3.
Рассмотрим функцию y=ln x при x ∈ (0; 1). Эта функция неограниченна на
указанном отрезке, так как при
x→0 ln x→-∞.
Функция
y=f(x) называется ограниченной при x → a, если существует окрестность с
центром в точке
а, в которой функция ограничена.
Функция
y=f(x) называется ограниченной при x→∞, если найдется такое число N>0,
что при всех значениях
х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.
Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.
Теорема 1. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.
Доказательство
. Т.к. , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при
вех значениях
х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ, выполняется неравенство |f(x) –
b|<
ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, последнее неравенство
запишем в виде
|f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x→a
|f(x)|<M.
Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то
она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может
не быть бесконечно большой. Приведите пример.
Теорема 2. Если , то функция y=1/f(x) ограничена при x→a.
Доказательство
. Из условия теоремы следует, что при произвольном ε>0 в некоторой
окрестности точки
a имеем |f(x) – b|<ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|, то |b| - |f(x)|< ε.
Следовательно,
|f(x)|>|b| - ε >0. Поэтому и . 
    Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений
аргумента.
    Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует
положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества,
выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x)
называется неограниченной на множестве D.
    Примеры.

   1. Функция y=sin x, определенная при -∞0,
что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.
    Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.
    Теорема 1. Если                и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.
     Доказательство. Т.к.          , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при
вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ, выполняется неравенство |f(x) –
b|<ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, последнее неравенство
запишем в виде |f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x→a
|f(x)|0 в некоторой
окрестности точки a имеем |f(x) – b|<ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|, то |b| - |f(x)|< ε.

Следовательно, |f(x)|>|b| - ε >0. Поэтому и                               .

Страницы