Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 118 стр.

   БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
   Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если
или           , т.е. бесконечно малая функция – это функция,
предел которой в данной точке равен нулю.
    Примеры.

   1. Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1,

      так как                      (см. рис.).
   2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
   3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
   4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

   Установим следующее важное соотношение:
   Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа
b и бесконечно малой величины α(x):     f (x)=b+ α(x),   то               .
   Обратно, если             , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
   Доказательство.

   1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=|
      α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ –
      окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют
       соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что          .
   2. Если             , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a
      будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a –
      бесконечно малая.

    Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
    Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа
бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
    Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x),
где              и             . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом
ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется
|f(x)|< ε.
     Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) –
бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2.
Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2
имеем | β(x)|< ε/2.
     Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться
каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет
     |f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
     т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.




     Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию
f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.