Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

1. .
2.
.
3.
, так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то
, как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
Функция же
является суммой постоянного числа и бесконечно малой
функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем
нужное равенство.
Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших
функций можно записать с помощью следующих условных соотношений:
A≠ 0
.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа
функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
.
Доказательство
. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого
числа слагаемых оно проводится так же. Пусть
.Тогда f(x)=b+α(x) и
g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,
f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).
Так как
b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то
.
Пример. .
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен
произведению пределов этих функций:
.
Доказательство
. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и
g(x)=c+β(x) и
fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).
Произведение
bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании
свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела: 
   1.          .

   2.                                                       .

   3.                  , так как функции    и    - бесконечно малые при x→+∞, то

              , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

        Функция же          является суммой постоянного числа и бесконечно малой
        функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем
        нужное равенство.

   Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших
функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

                                                                     .

                   ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
   Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа
функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
                                                           .
   Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого
числа слагаемых оно проводится так же. Пусть                         .Тогда f(x)=b+α(x) и
g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,
                               f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).
    Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то
                                                                 .

   Пример.                                          .
   Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен
произведению пределов этих функций:
                                 .
    Доказательство. Пусть                      . Следовательно, f(x)=b+α(x) и
g(x)=c+β(x) и
    fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).
    Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании
свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому
                              .
   Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
                                                        .



   Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

Страницы