Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 121 стр.

                                                            .

    Пример.                        .
    Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций,
если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.


                                                                .
    Доказательство. Пусть                          . Следовательно, f(x)=b+α(x) и
g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

                                                                    .

    Дробь        является бесконечно малой функцией, так как числитель есть
бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c2≠0.
    Примеры.



   1.                                              .


   2.                          .

   3. Рассмотрим           . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель


        стремится к 0. Но так как                      , т.е.   есть бесконечно малая

        функция при x→1, то            .

     Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x),
удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если
функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a
(или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу,
т.е. если
                     , то         .
   Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
   Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С.
Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.