Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 119 стр.

    Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что
при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) –
бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность
точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих
окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая
x→∞ доказательство проводится аналогично.
    Из доказанной теоремы вытекают:
    Следствие 1. Если              и            , то       .
   Следствие 2. Если             и c=const, то          .
   Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел
которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

    Доказательство. Пусть                               . Тогда 1/f(x) есть ограниченная

функция. Поэтому дробь              есть произведение бесконечно малой функции на
функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

           СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ
              И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
     Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция
1/f(x) является бесконечно малой при x→a.
     Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0

(зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство          ,а
это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) –
бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ,

так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x      .
    Примеры.

   1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда

        согласно сформулированной выше теореме функция              – бесконечно малая

        при x→+∞, т.е.                 .

   2.                      .

    Можно доказать и обратную теорему.
    Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается
в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.
    Доказательство теоремы проведите самостоятельно.




    Примеры.