Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 122 стр.

    Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные
значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть
отрицательным: b≥0.
    Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что
b<0, тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a. Но
тогда y не стремится к пределу b при x→a, что противоречит условию теоремы.
    Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x
удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы

                        , то имеет место неравенство b≥c.
   Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0,
следовательно, по теореме 5                    , или
                    .

   ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
   До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a
произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по
отношению к a, слева или справа от a. Однако, довольно часто можно встретить функции,
которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a, оставаясь с
одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних
пределов.
   Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что

xпринимает только значения, меньшие a, то пишут              и называют b пределом
функции f(x) в точке a слева.
    Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если
каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для
всех           выполняется неравенство                 .

   Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут                и
называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом
функции y=f(x) при x→a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется
такое число δ (большее а), что для всех         выполняется неравенство                .
    Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то
функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.
    Примеры.

   1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образом




          Найдем пределы функции f(x) при x→3.

       Очевидно,                          ,а

                                .



          2.