Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 113 стр.

      то для выполнения соотношения |xn - a| < ε достаточно, чтобы    или             .
      Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее

      неравенству       , получим что нужно. Так если взять, например,        , то,

      положив N=6, для всех n>6 будем иметь                      .

   2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что

                    .

          Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим


                                                    .


          Тогда           , если          или           , т.е.           . Поэтому

       выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству              .
   Сделаем несколько замечаний.
   Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности
принимают одно и то же постоянное значение xn = c, то предел этой последовательности
будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется
неравенство |xn - c| = |c - c| = 0 < ε.
   Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может
иметь двух пределов. Действительно, предположим, что xn → a и одновременно xn → b.

Возьмем любое           и отметим окрестности точек a и b радиуса ε. Тогда по
определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны
находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.
   Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет


предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения                           .
Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

     ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
     Пусть функция y=f(x) определена в некоторой
окрестности точки a. Предположим, что
независимая переменная x неограниченно
приближается к числу a. Это означает, что мы
можем придавать х значения сколь угодно близкие
к a, но не равные a. Будем обозначать это так x →
a. Для таких x найдем соответствующие значения
функции. Может случиться, что значения f(x) также
неограниченно приближаются к некоторому числу
b.Тогда говорят, что число b есть предел функции