Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может
быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при
f '(х
0
) ≠ 0)
главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая
величина более высокого порядка, чем Δ
x. Главную часть приращения функции, т.е. f
'
(х
0
)·Δx называют дифференциалом функции в точке х
0
и обозначают через dy.
Таким образом, если функция
y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то
произведение производной
f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом
функции
и обозначают:
dy =
f '(x)·Δx 1)
Найдем дифференциал функции
y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно,
dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее
приращением Δ
x. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:
dy =
f '(x)dx
Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f '(x)
можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу
независимой переменной.
Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует
существование дифференциала в этой точке.
Справедливо и обратное утверждение.
Если для данного значения
x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можно
представить в виде Δ
y = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая
условию
, т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в
некоторой точке
x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.
Действительно, имеем
, и так как при Δx→0, то .
Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием
дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
Примеры. Найти дифференциалы функций:
1.
2.
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА 
     Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может
быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠ 0)
главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая
величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f
'(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy.
     Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то
произведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом
функции и обозначают:
                                             dy =
                                        f '(x)·Δx 1)


   Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно,
dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее
приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:
                                            dy =
                                   f '(x)dx


    Но из этого соотношения следует, что             . Следовательно, производную f '(x)
можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу
независимой переменной.
    Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует
существование дифференциала в этой точке.
    Справедливо и обратное утверждение.
    Если для данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можно
представить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая

условию             , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в
некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.

   Действительно, имеем              , и так как       при Δx→0, то                .
   Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием
дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
   Примеры. Найти дифференциалы функций:




   1.

   2.                                            .

   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Страницы