Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в
приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δ
y≈dyили
Δ
y»f'(x
0
)·Δx.
Т.к., по определению, Δ
y = f(x) – f(x
0
), то f(x) – f(x
0
)≈f'(x
0
)·Δx.
Откуда
f(x) ≈ f(x
0
) +
f
'(x
0
)·Δx
Примеры.
1.
y = x
2
– 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy),
когда
x изменяется от 3 до 3,01.
Имеем Δ
y≈dy=f'(x)·Δx.
f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
Поэтому Δ
y ≈ 4·0,01 = 0,04.
2.
Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.
Пусть
x
0
= 16. Тогда Δx = x – x
0
= 17 – 16 = 1, ,
.
Таким образом,
.
3.
Вычислить ln 0,99.
Будем рассматривать это значение как частное значение функции
y=lnx при
х=0,99.
Положим
x
0
= 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x
0
)=0.
, f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция
y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение
производной
f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой
тоже функцию переменной
x. Пусть эта функция также имеет производную.
Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).
Производная от первой производной называется
производной второго порядка или
второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'.
Например, если
у = х
5
, то y'= 5x
4
, а y''= 20x
4
. 
бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в
приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили
Δy»f'(x0)·Δx.
    Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
    Откуда


                                                 f(x) ≈ f(x0) +
                                         f'(x0)·Δx
    Примеры.

   1. y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy),
      когда x изменяется от 3 до 3,01.

           Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.
                                     f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
           Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.

   2. Вычислить приближенно значение функции                      в точке x = 17.


           Пусть x0= 16. Тогда Δx = x – x0= 17 – 16 = 1,                      ,


                                                                                    .

           Таким образом,                                  .

   3. Вычислить ln 0,99.

           Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при
       х=0,99.
           Положим x0 = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x0)=0.

                  , f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.




            ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

   Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение
производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой
тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную.
Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).
   Производная от первой производной называется производной второго порядка или
второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'.
   Например, если у = х5, то y'= 5x4, а y''= 20x4.

Страницы