Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 154 стр.

    Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно
дифференцировать. Производная от второй производной называется производной
третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x).
    Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая)
от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y(n) или f(n)(x): y(n) = (y(n-1))'.
    Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции
последовательно находят все ее производные низших порядков.
    Примеры.

   1. Найти производную четвертого порядка функции y= ln x.



                                                             .
    2.




                                                                                       .

            3. Найти производную n-го порядка функции y = ekx.

            y'= k·ekx, y''= k2·ekx, y''' = k3·ekx, …,y(n) =kn·ekx.

            4. Найти производную n-го порядка функции y = sin x.

            Имеем




            Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл
         первой производной – скорость).




              Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s=s(t), где s –
         путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость vэтого движения есть v= s'(t) =
         v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.
              В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент
         времени t+Δt. Ему соответствует значение скорости v1 = v(t+Δt). Следовательно,
         приращению времени Δt соответствует приращение скорости Δv= v1 – v = v(t + Δt) –

         v(t). Отношение              называется средним ускорением за промежуток времени
         Δt .