Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения
при Δ
t→0:
.
Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная
скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути
s по
времени
t: v = s'. Учитывая это, имеем:
a = v'(t) = (s')' = s''(t),
т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по
времени
a = S''(t).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть имеем функцию
y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал
этой функции
dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только
первый сомножитель
f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно
выбирать независимо от этой точки). Рассматривая
dy как функцию x, мы можем найти
дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала данной функции
y=f(x) называется вторым
дифференциалом
или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d
2
y:
d(dy)=d
2
y.
Найдем выражение второго дифференциала. Т.к.
dxот x не зависит, то при нахождении
производной его можно считать постоянным, поэтому
d
2
y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)
2
.
Принято записывать (
dx)
2
= dx
2
. Итак, d
2
у= f''(x)dx
2
.
Аналогично
третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка
функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
d
3
y=d(d
2
y)=[f ''(x)dx
2
]'dx=f '''(x)dx
3
.
Вообще дифференциалом
n-го порядка называется первый дифференциал от
дифференциала (
n – 1)-го порядка: d
n
(y)=d(d
n-1
y)
d
n
y = f
(n)
(x)dx
n
Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого
порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:
ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 
         Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения
      при Δt→0:

                                                                     .
         Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная
      скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по
      времени t: v = s'. Учитывая это, имеем:
                                         a = v'(t) = (s')' = s''(t),
         т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по
      времени
                                                a = S''(t).




            ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

    Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал
этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только
первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно
выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти
дифференциал этой функции.
    Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым
дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y:
d(dy)=d2y.
    Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dxот x не зависит, то при нахождении
производной его можно считать постоянным, поэтому
                d2y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)2.
    Принято записывать (dx)2 = dx2. Итак, d2у= f''(x)dx2.
    Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка
функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
                               d3y=d(d2y)=[f ''(x)dx2]'dx=f '''(x)dx3.
    Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от
дифференциала (n – 1)-го порядка: dn(y)=d(dn-1y)
                                                dny = f
                                       (n)
                                          (x)dxn




   Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого
порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:




                ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Страницы