Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 156 стр.

   Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением,
которое символически запишем так:
                                          F(x
                                     , y) = 0. 1)


     Если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует
единственное значение y, которое вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем
говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x).
     Из определения следует, что для любой неявной функции y=f(x), заданной уравнением
(1), имеет место тождество F(x, f(x)) ≡ 0, справедливое при всех x ∈ D.
     Например, уравнение x2 + y2 – a2 = 0 неявно определяет две элементарные функции

                              . Действительно, после подстановки в исходное уравнение
этих значений получим равенство x2+(a2–x2) – a2 = 0.
    Однако, не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. в виде
y=f(x).

     Например, функции, заданные уравнениями y2– y – x2=0 или                  , не
выражаются через элементарные функции, т.е. эти уравнения нельзя разрешить
относительно y.
     Заметим, что каждая явная функция y=f(x) может быть представлена и как неявная y–
f(x) = 0.
     Таким образом, неявная функция – это определенный способ задания зависимости
между переменными x и y.
     Рассмотрим правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая
ее в явную, т.е. не представляя в виде y=f(x).
     Чтобы найти производную у' неявной функции F(x, y)=0, нужно обе части этого
уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого
полученного уравнения найти искомую производную y'. Чтобы найти y'', нужно уравнение
F(x, y)=0 дважды продифференцировать по x и выразить y'' и т.д.
     Примеры. Найти производные функций заданных неявно.