Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Выведем правило нахождения производных функций, заданных параметрически.
Пусть
x=x(t), y=y(t), причем на некотором отрезке [T
1
, T
2
] функции x(t) и y(t)
дифференцируемы и
x' ≠ 0.
Т.к.
у – функция, зависящая от переменной x, то будем считать, что функция x=x(t)
имеет обратную
t=t(x).
Будем обозначать: y
x
' – производная функции по переменной x, y
t
', x
t
', t
x
' –
соответственно производные по
t и х.
Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим
. Производную t
x
' найдем по правилу дифференцирования обратной функции
.
Окончательно,
.
Итак,
Полученную функцию
можно рассматривать как функцию, заданную
параметрически:
.
Используя эту формулу, можно находить и производные высших порядков функций,
заданных параметрически. Найдем
. По определению второй производной
. Учитывая, что y
x
' есть функция параметра t, y
x
'=f(t), получаем:
Примеры.
1.
, y = arcsin (t–1). Найдем .
Следовательно,
.
2.
Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде x = a·(t – sin t), y = a·(1 – cost)
в произвольной точке (0 ≤
t≤ 2·π).
Угловой коэффициент касательной
. 
    Выведем правило нахождения производных функций, заданных параметрически.
Пусть x=x(t), y=y(t), причем на некотором отрезке [T1, T2] функции x(t) и y(t)
дифференцируемы и x' ≠ 0.
    Т.к. у – функция, зависящая от переменной x, то будем считать, что функция x=x(t)
имеет обратную t=t(x).
    Будем обозначать: yx' – производная функции по переменной x, yt', xt', tx' –
соответственно производные по t и х.
    Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим
            . Производную tx' найдем по правилу дифференцирования обратной функции


        .


   Окончательно,                   .
   Итак,




   Полученную функцию          можно рассматривать как функцию, заданную

параметрически:                 .
   Используя эту формулу, можно находить и производные высших порядков функций,
заданных параметрически. Найдем          . По определению второй производной

                 . Учитывая, что yx' есть функция параметра t, yx'=f(t), получаем:



   Примеры.


   1.              , y = arcsin (t–1). Найдем   .




            Следовательно,                                .

   2. Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде x = a·(t – sin t), y = a·(1 – cost)

            в произвольной точке (0 ≤t≤ 2·π).

            Угловой коэффициент касательной                   .

Страницы