Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

x' = a·(1 – cost) ,y' = a·sin t. Поэтому .
3.
Найти
.
УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К КРИВОЙ
Рассмотрим кривую, уравнение которой есть
y=f(x). Возьмем на этой кривой точку
M(x
0
, y
0
), и составим уравнение касательной к
данной кривой в точке
M, предполагая, что эта
касательная не параллельна оси
Oy.
Уравнение прямой с угловым
коэффициентом в общем виде есть
у=kx + b.
Поскольку для касательной
k= f'(x
0
), то
получаем уравнение
y= f'(x
0
)·x + b. Параметр b
найдем из условия, что касательная проходит
через точку
M(x
0
, y
0
). Поэтому ее координаты
должны удовлетворять уравнению
касательной:
y
0
= f'(x
0
)·x
0
+ b. Отсюда b=y
0
–
f'(x
0
)·x
0
.
Таким образом, получаем уравнение касательной
y= f'(x
0
)·x +y
0
– f'(x
0
)·x
0
или
y = f '(x
0
)·(x –
x
0
) + f(x
0
)
Если касательная, проходящая через точку
М(x
0
,y
0
) параллельна оси ординат (т.е.
производная в этой точке не существует), то ее уравнение
x= x
0
.
Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать
нормаль.
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку
перпендикулярно к касательной в данной точке.
Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент
k
n
связан с угловым
коэффициентом касательной
k равенством:
. 
          x' = a·(1 – cost) ,y' = a·sin t. Поэтому                        .



   3.


          Найти        .




   УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К КРИВОЙ

     Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку
M(x0, y0), и составим уравнение касательной к
данной кривой в точке M, предполагая, что эта
касательная не параллельна оси Oy.
     Уравнение прямой с угловым
коэффициентом в общем виде есть у=kx + b.
Поскольку для касательной k= f'(x0), то
получаем уравнение y= f'(x0)·x + b. Параметр b
найдем из условия, что касательная проходит
через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты
должны удовлетворять уравнению
касательной: y0= f'(x0)·x0 + b. Отсюда b=y0–
f'(x0)·x0.
     Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x0)·x +y0 – f'(x0)·x0 или
                                            y = f '(x0)·(x –
                                    x0) + f(x0)
     Если касательная, проходящая через точку М(x0,y0) параллельна оси ординат (т.е.
производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0.
     Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать
нормаль.
     Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку
перпендикулярно к касательной в данной точке.
     Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым
коэффициентом касательной k равенством:


                                                                      .

Страницы