Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 161 стр.

   ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

    Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b],
дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на
концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна
точка c ∈ (a; b), в которой f'(c) = 0.
    Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из
теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего

значения и наименьшего. Пусть
    Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и,
следовательно, f'(x)=0при всех x ∈ [a; b] .
    Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от
нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.
    Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим
значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) –
наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует,
что



   Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что
производная при x = c существует, будем иметь:




    Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае,
когда
    f'(c)=0. Теорема доказана.
    Эта теорема имеет простой
геометрический смысл. Если
непрерывная кривая, имеющая в
каждой точке касательную,
пересекает ось Ox в точках x=a и
x=b, то на этой кривой найдется
хотя бы одна точка с абсциссой c,
a < c < b, в которой касательная
параллельна оси Ox.
    Заметим, что доказанная
теорема останется справедливой,
если предположить, что на концах
отрезка функция принимает
равные значения f(a)=f(b), не
обязательно равные нулю.
    Кроме того, отметим, что если
внутри [a; b] найдется хотя бы
одна точка, в которой производная
функции f(x) не существует, то