Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

утверждение теоремы может
оказаться неверным.
Пример. Функция
непрерывна на [–1; 1], обращается
в нуль на концах отрезка. Но
производная
не
обращается в нуль ни в одной
точке этого отрезка.
Теорема Лагранжа. Если
функция
y= f(x) непрерывна на [a;
b] и дифференцируема во всех
внутренних точках этого отрезка,
то внутри отрезка [
a; b] найдется
хотя бы одна точка
c, a<c<b такая,
что
f(b) – f(a)=f'(c)(b – a).
Доказательство
. Обозначим
и рассмотрим
вспомогательную функцию
F(x) =
f(x) – f(a) – k(x – a).
Выясним геометрический
смысл введенной функции. Для
этого рассмотрим график данной
функции на [
a; b] и напишем
уравнение хорды
АВ. Заметим, что
угловой коэффициент хорды
и она проходит
через точку
A(а; f(a)).
Следовательно, ее уравнение
y = f(a) + k(x – a).
Но
F(x)=f(x)–[f(a)+k(x–a)].
Поэтому
F(x) при каждом x есть
разность ординат графика
y= f(x) и
хорды, соответствующих точкам с
одинаковой абсциссой.
Легко видеть, что
F(x)
непрерывна на [
a; b] , как разность
непрерывных функций. Эта
функция дифференцируема внутри
[
a; b] и F(a)=F(b)=0.
Следовательно, к функции
F(x)
можно применить теорему Ролля.
Согласно этой теореме найдется
точка
c ∈ (a; b), что F'(c)=0. Но F
'(x) = f'(x) – k, а значит,F'(c) = f'(c) –
k = 0. 
    утверждение теоремы может
оказаться неверным.
    Пример. Функция
непрерывна на [–1; 1], обращается
в нуль на концах отрезка. Но

производная                  не
обращается в нуль ни в одной
точке этого отрезка.
    Теорема Лагранжа. Если
функция y= f(x) непрерывна на [a;
b] и дифференцируема во всех
внутренних точках этого отрезка,
то внутри отрезка [a; b] найдется
хотя бы одна точка c, a

Страницы