Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 164 стр.

   Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в
некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть

                     или                      . Тогда, если существует предел


отношения производных этих функций             , то существует и предел отношения
самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

                                                   1)


    Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим
образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших
величин равен пределу отношения их производных.
    Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел,
стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в
то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

    Например, найти              . Этот предел существует
. Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому
пределу.
    Заметим, что если отношение производных опять представляет собой
неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную
теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.
    Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞;
0·∞.
    Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную
функцию и найти предел ее логарифма.
    Примеры.




   1.                                                    .


   2.                                                .




   3.                                                        .




   4.