Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 165 стр.

   5.


          Обозначим                  .

          Прологарифмируем это равенство                                  . Найдем


                                                            .

          Так как lny функция непрерывная, то                        . Следовательно,

                или                      .


                ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

    Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 ∈ (a, b). Поставим следующую задачу:
найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали
бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать,
что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить
более легкой задачей вычисления значений P(x).
    Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде

                                                                     1)



    В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты           .
    Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения
следующих равенств:

   Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты
          многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.
   Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.
   Подставим в (1) x = x0 и найдем           , но с другой стороны                   .
Поэтому
   Далее найдем производную                                                              и
вычислим            Следовательно,              .
   Учитывая третье условие и то, что
                                                        ,

   получим                       , т.е.             .