Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем
вычислить значение
e
x
.
Например, при
x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти
приближенное значение числа
e:
причем остаток
Отметим, что для любого
x
∈
R остаточный член
Действительно, так как ξ
∈ (0; x), то величина e
ξ
ограничена при
фиксированном
x. При x> 0 e
ξ
< e
x
. Докажем, что при фиксированном x
Имеем
Если
x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.
Обозначим
Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать
Но
, не зависящая от n, а так как q<1.
Поэтому
Следовательно,
Таким образом, при любом
x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем
вычислить
e
x
с любой степенью точности.
2.
Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.
Найдем последовательные производные от функции
f(x)=sin x.
Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение: 
      Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем
   вычислить значение ex.
      Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти
   приближенное значение числа e:

                                        причем остаток


      Отметим, что для любого x ∈ R остаточный член
      Действительно, так как ξ ∈ (0; x), то величина eξ ограничена при
   фиксированном x. При x> 0 eξ < ex. Докажем, что при фиксированном x




      Имеем
      Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|N можем написать




      Но              , не зависящая от n, а                     так как q<1.


   Поэтому                Следовательно,
      Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем
   вычислить ex с любой степенью точности.

2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

      Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.




      Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

Страницы