Высшая математика. Ч.1. Семёнова Т.В. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Далее . Значит,
, т.е. .
Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула
Подставляя найденные значения коэффициентов
в формулу (1), получим
искомый многочлен:
Обозначим
и назовем эту разность n-ым остаточным членом
функции
f(x) в точке x
0
. Отсюда и, следовательно, если
остаточный член будет мал.
Оказывается, что если
x
0
∈ (a, b) при всех x ∈ (a, b) существует производная f
(n+1)
(x),
то для произвольной точки
x
∈
(a, b) существует точка, лежащая между x
0
и x такая, что
остаток можно представить в виде:
Это так называемая
формула Лагранжа для остаточного члена.
Формула
где x ∈ (x
0
, x) называется формулой Тейлора.
Если в этой формуле положить
x
0
= 0, то она запишется в виде
где x
∈ ( x
0
, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой
МакЛорена
.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1.
Рассмотрим функцию f(x)=e
x
. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы
многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (
n+1) порядка:
Таким образом, получаем 
   Далее                                                                   . Значит,

                          , т.е.                .


   Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула



   Подставляя найденные значения коэффициентов                 в формулу (1), получим
искомый многочлен:



   Обозначим                         и назовем эту разность n-ым остаточным членом
функции f(x) в точке x0. Отсюда                        и, следовательно,               если
остаточный член будет мал.
    Оказывается, что если x0 ∈ (a, b) при всех x ∈ (a, b) существует производная f (n+1)(x),
то для произвольной точки x ∈ (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что
остаток можно представить в виде:



   Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.
   Формула



где x ∈ (x0, x) называется формулой Тейлора.
    Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде



   где x ∈ ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой
МакЛорена.

  РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

   1. Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы
      многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:




           Таким образом, получаем

Страницы